0 引言

　　傅立葉變換是一種將信號(hào)從時(shí)域轉(zhuǎn)變?yōu)轭l域表示的變換形式，它是數(shù)字信號(hào)處理中對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析時(shí)經(jīng)常采用的一種方法,。信號(hào)的一些特性在時(shí)域總是表現(xiàn)得不明顯,，通過(guò)傅里葉算法，將其變換到頻域,，其特性就一目了然,。例如，來(lái)自供電系統(tǒng)的干擾在時(shí)域上總是不易識(shí)別,，但是在頻域上就可以很清晰地看到50～60 Hz的離散諧波,。

　　在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中，實(shí)際上是以離散傅立葉變換(DFT)的方式處理數(shù)據(jù),。由于DFT的運(yùn)算量比較大,，并不適用于嵌入式控制系統(tǒng)，所以實(shí)際應(yīng)用中常使用DFT 的快速算法一快速傅立葉變換(FFT),。雖然FFT 比DFT的計(jì)算量減少了很多,，但用普通單片機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn)FFT多點(diǎn)、實(shí)時(shí)運(yùn)算還是比較困難的,。DSP(數(shù)字信號(hào)處理器)具有運(yùn)算速度快和精度高的特點(diǎn),，恰好滿足FFT的要求，能較好地解決這個(gè)問(wèn)題,。

　　1 快速傅里葉變換的原理

　　非周期性連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)的傅里葉變換可以表示為

　　式中計(jì)算出來(lái)的是信號(hào)x(t)的連續(xù)頻譜,。但是，在實(shí)際的控制系統(tǒng)中能夠得到的是連續(xù)信號(hào)x(t)的離散采樣值x(nT),。因此需要利用離散信號(hào)x(nT)來(lái)計(jì)算信號(hào)x(t)的頻譜,。

　　有限長(zhǎng)離散信號(hào)x(n),，n=0，1,，…,，N-1的DFT定義為：

　　可以看出，DFT需要計(jì)算大約N2次乘法和N2次加法,。當(dāng)N較大時(shí),，這個(gè)計(jì)算量是很大的。利用WN的對(duì)稱性和周期性,，將N點(diǎn)DFT分解為兩個(gè)N／2點(diǎn)的 DFT,，這樣兩個(gè)N／2點(diǎn)DFT總的計(jì)算量只是原來(lái)的一半，即(N／2)2+(N／2)2=N2／2,，這樣可以繼續(xù)分解下去,，將N／2再分解為N／4點(diǎn) DFT等。對(duì)于N=2m 點(diǎn)的DFT都可以分解為2點(diǎn)的DFT,，這樣其計(jì)算量可以減少為(N／2)log2N次乘法和Nlog2N次加法,。圖1為FFT與DFT-所需運(yùn)算量與計(jì)算點(diǎn)數(shù)的關(guān)系曲線。由圖可以明顯看出FFT算法的優(yōu)越性,。

　　將x(n)分解為偶數(shù)與奇數(shù)的兩個(gè)序列之和,，即

　　x1(n)和x2(n)的長(zhǎng)度都是N／2，x1(n)是偶數(shù)序列,，x2(n)是奇數(shù)序列,，則

　　其中X1(k)和X2(k)分別為x1(n)和x2(n)的N／2點(diǎn)DFT,。由于X1(k)和X2(k)均以N／2為周期,，且WN k+N/2=-WN k，所以X(k)又可表示為：

　　上式的運(yùn)算可以用圖2表示,，根據(jù)其形狀稱之為蝶形運(yùn)算,。依此類推，經(jīng)過(guò)m-1次分解,，最后將N點(diǎn)DFT分解為N／2個(gè)兩點(diǎn)DFT,。圖3為8點(diǎn)FFT的分解流程。

　　FFT算法的原理是通過(guò)許多小的更加容易進(jìn)行的變換去實(shí)現(xiàn)大規(guī)模的變換,，降低了運(yùn)算要求,，提高了與運(yùn)算速度。FFT不是DFT的近似運(yùn)算,，它們完全是等效的,。

　　2 快速傅里葉算法在TMS320LF2407上的實(shí)現(xiàn)

　　根據(jù)FFT算法的特點(diǎn)，處理器要在一個(gè)指令周期內(nèi)完成乘和累加的工作,，因?yàn)閺?fù)數(shù)運(yùn)算要多次查表相乘才能實(shí)現(xiàn),。其二就是間接尋址,，可以實(shí)現(xiàn)增／減1個(gè)變址量，方便各種查表方法,。再次,，F(xiàn)FT變換的輸入序列x(n)是按所謂的碼位倒序排列的，處理器要有反序間接尋址的能力,。DSP控制器專門(mén)設(shè)計(jì)了特有的反序間接尋址,，并能在一個(gè)指令周期內(nèi)完成乘和累加的運(yùn)算。因此,，對(duì)數(shù)字信號(hào)的分析處理,，DSP比其它的處理器有絕對(duì)的優(yōu)勢(shì)。本文采用TI公司C2000系列TMS320LF2407芯片來(lái)實(shí)現(xiàn)FFT算法,。

　　TMS320LF2407定點(diǎn)DSP是一款專為工業(yè)控制,、電機(jī)控制和數(shù)字信號(hào)處理等用途而設(shè)計(jì)的DSP，具備單周期乘加指令,，具有FFT反序間接尋址功能,，最高運(yùn)行速度為40MIPS。為了充分利用DSP芯片特有的反序間接尋址等功能,，F(xiàn)FT算法程序采用匯編語(yǔ)言編寫(xiě),，主程序采用C語(yǔ)言，因此程序具有良好的兼容性和可擴(kuò)展性,。

　　主程序流程圖如圖4所示,。系統(tǒng)初始化主要完成DSP的系統(tǒng)控制和狀態(tài)寄存器、等待狀態(tài)發(fā)生器控制寄存器,、中斷寄存器等的必要設(shè)置,。

　　本程序采樣函數(shù)為：x=sin(20πt)，采樣頻率為640Hz,。

　　輸入數(shù)據(jù)波形如圖5所示,。一般情況下，我們只關(guān)心信號(hào)頻域的幅度譜,。幅度譜|X(k)|2的計(jì)算：X(k)=XR(k)+jX(k),，|X(k)2|=|Xr(k)|2+|Xi(k)|2。FFT計(jì)算結(jié)果的信號(hào)幅度譜|X(k)|2如圖6所示,。

　　輸入信號(hào)頻率是10Hz,，根據(jù)公式f=kfs／N，f是原始信號(hào)的頻率,，k表示峰值出現(xiàn)的位置,，fS是采樣頻率，N是計(jì)算的點(diǎn)數(shù),，從幅度譜中看出,，峰值出現(xiàn)在k=1處,，那么，f=1×640／64=10,，與原始信號(hào)的實(shí)際頻率一致,，說(shuō)明計(jì)算結(jié)果正確。

　　3 快速傅里葉變換(FFT)的應(yīng)用

　　FFT在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)研究中有著廣泛的應(yīng)用,。圖7為FFT的典型應(yīng)用方案,。下面簡(jiǎn)單介紹一下FFT的應(yīng)用領(lǐng)域。

　　(1)頻譜分析,。對(duì)各類旋轉(zhuǎn)機(jī)械,、電機(jī)、機(jī)床等機(jī)器的主體或部件進(jìn)行實(shí)際運(yùn)行狀態(tài)下的頻譜分析,，可以提供設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)和檢驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果,，或者找尋震源和診斷故障，保證設(shè)備的安全運(yùn)行等,。在聲納系統(tǒng)中,，為了尋找海洋水面船只或潛艇，需要對(duì)噪聲信號(hào)進(jìn)行頻譜分析,，以提供有用信息,，判斷艦艇運(yùn)行速度、方向,、位置,、大小等。

　　(2)濾波,。濾波是FFT最廣泛的應(yīng)用,，它使對(duì)波形的頻率分量濾波變得十分簡(jiǎn)單。比如對(duì)采樣信號(hào)進(jìn)行FFT后,，去掉不需要的頻率分量,，再進(jìn)行FFT反變換，就得到濾波后的期望信號(hào),。

　　(3)電力監(jiān)控系統(tǒng)的諧波分析。電力監(jiān)控系統(tǒng)的諧波分析,，需要對(duì)采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行FFT運(yùn)算,，然后通過(guò)液晶屏或其它人機(jī)界面重新繪畫(huà)出來(lái)，以方便技術(shù)人員掌握電力的質(zhì)量,。

　　4 總結(jié)

　　實(shí)驗(yàn)證明,，此程序在TMS320LF2407定點(diǎn)DSP中運(yùn)行良好，速度快且運(yùn)算結(jié)果十分可靠,，其用于一般的信號(hào)處理和工業(yè)控制都能滿足精度和實(shí)時(shí)的要求,，具有較高的學(xué)術(shù)價(jià)值和良好的應(yīng)用前景,。其次，掌握FFT,，學(xué)會(huì)在空域和頻域中同時(shí)思考問(wèn)題,，很多時(shí)候可以讓我們使用簡(jiǎn)單的方法來(lái)解決復(fù)雜的問(wèn)題。