文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A
DOI：10.16157/j.issn.0258-7998.182787
中文引用格式： 應(yīng)俊,，朱云鵬,，賀超. 基于改進(jìn)的SVD和Prony的諧波檢測(cè)算法[J].電子技術(shù)應(yīng)用，2019,，45(1)：46-50.
英文引用格式： Ying Jun,，Zhu Yunpeng，He Chao. Harmonic detection algorithm based on improved SVD and Prony[J]. Application of Electronic Technique,，2019,，45(1)：46-50.
0 引言
隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展,，大量的非線性負(fù)載和電力電子設(shè)備被應(yīng)用在工業(yè)生產(chǎn)和日常生活中,，這提高了生產(chǎn)效率，促進(jìn)了生活便利,，但同時(shí)也對(duì)電網(wǎng)造成了巨大的諧波污染,。另一方面，隨著新能源在電力系統(tǒng)中的迅速發(fā)展,，各種分布式的電源也相繼產(chǎn)生,，比如太陽(yáng)能發(fā)電、風(fēng)力發(fā)電以及地?zé)崮艿?，這些新能源的發(fā)電設(shè)備并網(wǎng)運(yùn)行時(shí),，同樣也給電力系統(tǒng)帶來了一系列諧波污染，因此諧波污染治理也越發(fā)重要[1],。諧波污染治理的性能很大程度上又受到諧波檢測(cè)環(huán)節(jié)的影響,，這就要求諧波檢測(cè)過程必須要具備兩個(gè)特點(diǎn)：實(shí)時(shí)性強(qiáng)、準(zhǔn)確度高[2],。電力系統(tǒng)中常用的諧波檢測(cè)的方法主要有傅里葉變換[3],、小波變換[4]和希爾伯特-黃變換[5]等。在治理諧波污染時(shí)性能表現(xiàn)不佳,，分別體現(xiàn)在易產(chǎn)生頻譜泄漏和柵欄效應(yīng),、算法計(jì)算量過大和不具有自適應(yīng)性以及容易產(chǎn)生模態(tài)混疊效應(yīng)和負(fù)頻率。
近年來,，Prony算法因其具有高頻率分辨率和高頻率估計(jì)精度,，在電力系統(tǒng)中獲得了越來越多的關(guān)注。但是,，Prony算法對(duì)于噪聲較為敏感,，易受噪聲信號(hào)的影響,。電網(wǎng)系統(tǒng)中包含著大量的高斯噪聲，因此如何能夠降低噪聲對(duì)模型辨識(shí)的影響成為了一個(gè)難點(diǎn),。文獻(xiàn)[6]提出了Prony算法與小波分析相結(jié)合的方法,，先通過小波函數(shù)對(duì)擾動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分解，然后利用改進(jìn)的Prony算法對(duì)穩(wěn)態(tài)擾動(dòng)問題進(jìn)行參數(shù)辨識(shí),，雖然提高了辨識(shí)精度,，但是該算法過于依賴對(duì)小波基的選擇，濾波效果并不理想,。文獻(xiàn)[7]提出了將SVD濾波技術(shù)與Prony算法相結(jié)合的方法,，該方法利用SVD的特性濾除噪聲信號(hào)，其次利用Prony算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理,，但是SVD濾波處理過程中太過依賴奇異值有效階次的判斷,，同樣不具備自適應(yīng)性。
本文在前人研究的基礎(chǔ)上,，提出了一種基于SVD的改進(jìn)濾波算法,，能夠精確地找到電網(wǎng)信號(hào)中諧波及間諧波信號(hào)分量的階次,，同時(shí)濾除電網(wǎng)信號(hào)中的噪聲信號(hào),，只留下“純凈的”電網(wǎng)信號(hào)。根據(jù)濾波后的電網(wǎng)信號(hào)以及諧波及間諧波信號(hào)階數(shù),，利用一種改進(jìn)的Prony算法,，結(jié)合線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，計(jì)算出信號(hào)的頻率,、相位和幅值,。研究結(jié)果表明，算法對(duì)于諧波信號(hào)的檢測(cè)精確度極高,，同時(shí)由于所需的采樣數(shù)據(jù)長(zhǎng)度小,，實(shí)時(shí)性也較強(qiáng)，能夠很好地滿足實(shí)時(shí)性和準(zhǔn)確度的要求,。
1 電網(wǎng)信號(hào)模型
電網(wǎng)信號(hào)主要包含基波各次諧波,、間諧波以及各種噪聲信號(hào)，因此可以通過以下數(shù)學(xué)表達(dá)式來建立模型：
式中,，wi=2πfi,，p為諧波和間諧波個(gè)數(shù)，Ai,、fi,、θi分別表示第i個(gè)諧波或間諧波信號(hào)的幅值、頻率和相位,，而ω(n)則表示電網(wǎng)系統(tǒng)中的噪聲信號(hào),。
根據(jù)電網(wǎng)的特性,，除了基波分量以外，奇次諧波分量對(duì)電網(wǎng)的影響所占權(quán)重較大,，本文主要選取了奇次諧波中影響較大的3次,、5次以及7次諧波作為電網(wǎng)信號(hào)的模型[8]；間諧波主要存在于諧波附近,，易受諧波信號(hào)影響,。因此，本文基于諧波信號(hào)選擇了3個(gè)間諧波信號(hào),。諧波檢測(cè)算法的作用是對(duì)式(1)的正弦信號(hào)進(jìn)行參數(shù)辨識(shí),，得到各個(gè)諧波和間諧波信號(hào)的特性參數(shù)，本文所提算法正是基于此電網(wǎng)信號(hào)模型,。
2 算法實(shí)現(xiàn)
2.1 基于SVD的改進(jìn)濾波算法
電網(wǎng)信號(hào)模型為x(i)=s(i)+w(i)(i=1,，2，…,，N),。將接收到的電能信號(hào)序列x=[x1，x2,，…,，xN]構(gòu)造成如下的Hankel矩陣的形式：
其中，當(dāng)N為偶數(shù)時(shí),，n=N/2,，m=N/2+1；當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)n=(N+1)/2,，m=(n+1)/2,。
完成對(duì)信號(hào)序列的Hankel矩陣X的構(gòu)造以后，對(duì)X進(jìn)行奇異值分解,，可得到：
信號(hào)的完備空間可以劃分為信號(hào)子空間和噪聲子空間,，并且它們之間相互正交。在奇異值分解理論中,，奇異值的前k個(gè)值對(duì)應(yīng)著信號(hào)子空間分量,，后q-k個(gè)奇異值則對(duì)應(yīng)著噪聲子空間分量。因此,，稱k為信號(hào)的有效階次,。
信號(hào)分解的奇異值序列的分布具有其特點(diǎn)：在有效階次k之前，奇異值內(nèi)部差異都相對(duì)較小,，變化也比較平緩,；而在第k+1個(gè)奇異值處，奇異值序列出現(xiàn)明顯的階躍式下降；之后奇異值序列的變化再次趨于平緩,，不存在明顯波動(dòng)[9],。如果將獲得的奇異值序列看作一個(gè)信號(hào)序列，根據(jù)奇異值序列的這種特性尋找到相應(yīng)的突變點(diǎn)作為奇異點(diǎn),，那么這個(gè)突變點(diǎn)的位置就是原信號(hào)中有效階次,。
對(duì)于電網(wǎng)信號(hào)來說，在確定有效階次為k后,，如果k的值過小,，雖然大部分噪聲信號(hào)都被濾除，但是大量的電能信號(hào)也已丟失,；如果k的值過大,，電能信號(hào)雖保持完整，但是噪聲信號(hào)未能得到很好的濾除,，干擾仍較大,。因此，如何更好地確定有效階次對(duì)于濾波的效果至關(guān)重要,。本文在結(jié)合對(duì)電網(wǎng)信號(hào)的特性分析以及奇異值分解理論后,，提出一種奇異點(diǎn)輔助算法，根據(jù)奇異值增長(zhǎng)率的變化,，確定奇異值突變點(diǎn),，輔助確定奇異值的有效階次。奇異值增長(zhǎng)率公式為：
式中,，σi為第i個(gè)奇異值,，ηi為第i+1個(gè)奇異值同比上一個(gè)奇異值的下降率。通過對(duì)ηi大小的比較,，選擇ηi最大的i處作為奇異點(diǎn)位置。
對(duì)矩陣X進(jìn)行奇異值分解之后,，利用式(6)對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)：
2.2 改進(jìn)的Prony-ADALINE算法
Prony算法是一種使用指數(shù)函數(shù)的線性組合來描述等間距采樣數(shù)據(jù)的理論,，可以用來估計(jì)有理式功率譜密度[10]。傳統(tǒng)的算法采用的數(shù)學(xué)模型為p個(gè)具有任意幅值,、相位,、頻率與衰減因子的指數(shù)函數(shù)，本文的信號(hào)為正弦信號(hào),，因此,，采樣Prony譜線估計(jì)算法[11]，其數(shù)學(xué)模型為p個(gè)實(shí)的,、無衰減的正弦信號(hào),。
2.2.1 Prony譜線估計(jì)算法
Prony譜線估計(jì)算法的數(shù)學(xué)模型用離散時(shí)間的函數(shù)表示為：
本文改進(jìn)的算法主要包括以下步驟：
(1)定義樣本函數(shù)(10)，根據(jù)濾波處理后的信號(hào)以及得到的信號(hào)的有效階次k(即特征多項(xiàng)式中2p=k),，利用樣本函數(shù)構(gòu)建樣本矩陣,，并通過樣本矩陣構(gòu)建法方程(11)：
2.2.2 ADALINE神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法
ADALINE神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,，現(xiàn)在已經(jīng)廣泛應(yīng)用于自適應(yīng)信號(hào)處理領(lǐng)域，對(duì)于電網(wǎng)信號(hào)中的諧波和間諧波信號(hào)分析也同樣適用,。ADALINE神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法和其他神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比,，它的最大優(yōu)勢(shì)就是不需要事先對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行大量訓(xùn)練，同時(shí)它還具有分析精度高,、收斂速度快這一突出特點(diǎn),，因此可以做到對(duì)電網(wǎng)信號(hào)中的諧波和間諧波信號(hào)成分的實(shí)時(shí)分析。
根據(jù)三角函數(shù)的特點(diǎn),，對(duì)式(8)進(jìn)行三角恒等變換,，得到式(13)：
基于ADALINE模型的檢測(cè)原理圖如圖1所示，分為輸入層,、求和層和輸出層,。其中輸入信號(hào)X(n)= [ cos(2πf1n)，sin(2πf1n),，…,，cos(2πfpn)，sin(2πfpn)],，輸入神經(jīng)元數(shù)即等于有效階次2p,。對(duì)應(yīng)的權(quán)系數(shù)為W(n)=[a1，b1,，…,，ap，bp]T,。輸入信號(hào)與權(quán)系數(shù)相乘,，經(jīng)過求和層，得到單個(gè)的輸出向量y(n),。權(quán)值更新算法自動(dòng)更新權(quán)系數(shù)W(n),，使之不斷收斂到穩(wěn)態(tài)階段，這時(shí)的權(quán)系數(shù)即為逼近式(13)中的系數(shù),，實(shí)現(xiàn)諧波及間諧波的幅值,、相位檢測(cè)。
該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的基本特點(diǎn)可總結(jié)為如下三個(gè)方面：
(1)可以根據(jù)變化著的輸入和目標(biāo)輸出實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)在線訓(xùn)練,；
(2)應(yīng)用自適應(yīng)在線算法調(diào)整各權(quán)值大?。?/p>
(3)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,，便于硬件實(shí)現(xiàn),。
3 仿真分析
實(shí)際電網(wǎng)中，電網(wǎng)信號(hào)相對(duì)比較復(fù)雜，包含了眾多的諧波,、間諧波以及噪聲信號(hào)等,。本節(jié)主要對(duì)電網(wǎng)電壓信號(hào)進(jìn)行仿真并分析，建立的信號(hào)模型的表達(dá)式如式(14)所示,，通過利用MATLAB軟件對(duì)信號(hào)進(jìn)行仿真分析,，用以分析和驗(yàn)證本文所提算法應(yīng)用在諧波檢測(cè)的性能。
式中,，ω(t)為加在諧波信號(hào)上的噪聲,，信噪比為30 dB，各個(gè)諧波以及間諧波的具體參數(shù)如表1所示,。本次信號(hào)采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)為400,，采樣頻率為1 500 Hz，采樣時(shí)間為0.27 s,。
3.1 濾波算法性能分析
對(duì)于采樣的電網(wǎng)信號(hào),，根據(jù)式(2)構(gòu)造Hankel矩陣X，對(duì)其進(jìn)行奇異值分解,，得到奇異值序列σ,。根據(jù)本文提出的奇異值輔助算法，通過對(duì)奇異值序列的運(yùn)算,，得到如圖2所示的奇異值增長(zhǎng)率曲線,。
圖2中橫坐標(biāo)表示的為奇異值序列，縱坐標(biāo)為根據(jù)輔助算法計(jì)算出的奇異值增長(zhǎng)率,。由圖2可知,，奇異值增長(zhǎng)率在橫坐標(biāo)為0～14區(qū)間變化較大；在超過14后,，增長(zhǎng)率降低,，接近于0，變化趨于穩(wěn)定,。這是因?yàn)楦鞔沃C波分量的能量差距較大導(dǎo)致,。增長(zhǎng)率在奇異值序列為2時(shí)達(dá)到80%以上，是由于基頻信號(hào)與其他諧波成分能量相差過大,。當(dāng)奇異值序列取值為14時(shí)，此時(shí)的增長(zhǎng)率接近于1,，達(dá)到最大值,。對(duì)比數(shù)據(jù)可知，該處即為有效階次,，通過該輔助算法確定的有效階次與實(shí)際的完全一致,。
根據(jù)已經(jīng)得到的奇異值的有效階次，對(duì)信號(hào)進(jìn)行SVD濾波處理，濾波結(jié)果如圖3所示,。圖3中分別是未加噪聲的原始諧波信號(hào),、加噪聲的諧波信號(hào)以及SVD濾波后的諧波信號(hào)的局部波形圖。
從圖3中原始信號(hào),、包含噪聲信號(hào)以及濾波后信號(hào)的對(duì)比可看出,，濾波后的信號(hào)波形幾乎與原始信號(hào)完全重合。這是因?yàn)楸疚奶岢龅乃惴軌驕?zhǔn)確地確定信號(hào)的有效階次,，進(jìn)而能夠有效濾除噪聲成分,，降低噪聲對(duì)諧波檢測(cè)算法影響的同時(shí)，又沒有損失信號(hào)中的有效成分,，為Prony譜線估計(jì)算法提供了一個(gè)“純凈”的電能信號(hào),。
3.2 諧波檢測(cè)算法性能分析
為了驗(yàn)證本文方法的有效性，通過采樣本文所提算法與文獻(xiàn)[12]中的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)+改進(jìn)Prony算法進(jìn)行對(duì)比,，其中,，算法1為本文算法，算法2為文獻(xiàn)中所提算法,。兩種算法對(duì)于信號(hào)特性參數(shù)中頻率的估計(jì)結(jié)果如表2所示,，對(duì)于幅值和相位特性參數(shù)的估計(jì)則通過圖4以相對(duì)誤差的形式給出。
表2是兩種算法對(duì)于電網(wǎng)信號(hào)對(duì)頻率估計(jì)的計(jì)算數(shù)值結(jié)果,，兩種算法對(duì)于諧波分量的頻率估計(jì)誤差已經(jīng)很小,，接近實(shí)際頻率值，估計(jì)精確度極高,。其中在對(duì)于間諧波分量的頻率進(jìn)行計(jì)算時(shí)發(fā)現(xiàn),，算法2在對(duì)于1.3次間諧波的頻率進(jìn)行計(jì)算時(shí)，計(jì)算值與實(shí)際參數(shù)值相差0.093 4 Hz,，而算法1的計(jì)算值與實(shí)際參數(shù)值誤差則僅為0.000 8 Hz,，在3.3次間諧波分量處算法2的計(jì)算誤差同樣遠(yuǎn)大于算法1，而在6.4次間諧波處兩種算法的計(jì)算誤差逐漸降低,，趨于平緩,。
圖4表示的是兩種算法對(duì)于幅值和相位這兩個(gè)參數(shù)計(jì)算數(shù)值的相對(duì)誤差。由圖可知,，算法1對(duì)于幅值的計(jì)算在1.3以及3.3次諧波處的相對(duì)誤差遠(yuǎn)小于算法2的相對(duì)誤差,，且計(jì)算結(jié)果滿足文獻(xiàn)[13]中規(guī)定的A類測(cè)量?jī)x器要求的相對(duì)誤差小于5%。在對(duì)于相位計(jì)算過程中,，算法1計(jì)算的相對(duì)誤差最高也僅為1.5%,，檢測(cè)精確度比算法2更高。
4 結(jié)論
本文針對(duì)Prony算法對(duì)噪聲信號(hào)敏感的問題,，提出了一種基于SVD改進(jìn)算法,。采用了自適應(yīng)的輔助算法幫助奇異值序列找到有效階次,，替代了傳統(tǒng)的奇異值曲線以及奇異熵增量等經(jīng)驗(yàn)性的方法，更好地濾除噪聲信號(hào),。同時(shí),，基于有效階次，將SVD更好地與Prony算法結(jié)合在一起,，使用簡(jiǎn)單的線性方程組的求解去替代最小二乘法,，降低了算法運(yùn)算量。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行仿真驗(yàn)證,，仿真結(jié)果表明該方法準(zhǔn)確,、有效，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值,。
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作者信息:
應(yīng) 俊1,，2,，朱云鵬1，2,，賀 超2
(1.重慶郵電大學(xué) 光電工程學(xué)院,，重慶400065；2.重慶郵電大學(xué) 光通信與網(wǎng)絡(luò)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,，重慶400065)