0 引言

    磁流變阻尼器是應(yīng)用磁流變液在強(qiáng)磁場下快速可逆流變特性而制造出的一種有著廣泛應(yīng)用前景的減振控制裝置^[1],。由于磁流變阻尼器的非線性,，建立較為精確的阻尼器動力學(xué)模型是開發(fā)和使用阻尼器獲得好的控制效果的關(guān)鍵因素之一^[2]。磁流變液的流體力學(xué)性能受到外加磁場等多因素影響,，本構(gòu)關(guān)系復(fù)雜,，難以建立精確的數(shù)學(xué)模型，目前還沒有統(tǒng)一的磁流變阻尼器力學(xué)模型^[3],。

    Bingham模型是一種常用的磁流變阻尼器塑性流體力學(xué)模型^[4]。Herschel-Bulkley模型是一種改進(jìn)的非線性Bingham模型,，具有冪律的本構(gòu)關(guān)系,，其整數(shù)階導(dǎo)數(shù)模型需要引入多個導(dǎo)數(shù)項和材料參數(shù)^[5]。分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)可以很好地描述具有冪律的復(fù)雜非線性自然和社會現(xiàn)象^[6],。為此,，本文將分?jǐn)?shù)階微分和Bingham模型相結(jié)合，得到分?jǐn)?shù)階Bingham模型,，描述磁流變阻尼器的動力學(xué)過程,。

    圖像去噪是圖像預(yù)處理的重要步驟^[7]，基于偏微分方程(PDE)的圖像去噪方法是圖像分析和處理的研究熱點(diǎn)^[8],。本文由分?jǐn)?shù)階Bingham模型推導(dǎo)得到分?jǐn)?shù)階Bingham PDE圖像去噪模型,，并定義一種分?jǐn)?shù)階邊緣檢測算子，用于圖像去噪,。試驗結(jié)果證明了算法的有效性,。

1 分?jǐn)?shù)階微積分與Bingham模型

1.1 分?jǐn)?shù)階微積分定義

    分?jǐn)?shù)階微積分是數(shù)學(xué)分析的一個重要分支,，目前分?jǐn)?shù)階微積分有多種定義表達(dá)式^[9]，其中主要有3種經(jīng)典的時域表達(dá)式,，包括Grümwald-Letnikov,、Riemann-Liouville 和Capotu定義，3種定義在一定條件下是等價的,。分?jǐn)?shù)階微積分的定義為：

式中,，v為分?jǐn)?shù)階數(shù)，G表示G-L定義,，下標(biāo)a和t表示積分式的下界和上界,，a為時間t的初值。

1.2 Bingham模型

    Bingham模型是磁流變阻尼器常采用的力學(xué)模型之一,，其應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系為：

1.3 Herschel-Bulkley模型

    Herschel-Bulkley模型是一種改進(jìn)的Bingham模型,，能夠解釋磁流變液屈服后剪切稀化和剪切增稠行為。其模型表達(dá)式為：

2 分?jǐn)?shù)階Bingham磁流變阻尼器力學(xué)模型

    Herschel-Bulkley模型是一種整數(shù)階導(dǎo)數(shù)模型,，式(3)具有冪律特性,，其應(yīng)力與應(yīng)變響應(yīng)依賴于時間和應(yīng)變率，與載荷和變形歷史有關(guān),，具有記憶性,。相比Bingham模型，它引入了多個導(dǎo)數(shù)項和材料參數(shù),，較準(zhǔn)確地描述了磁流變液的動力學(xué)特性,。針對模型的冪率特性，Gemant^[4]建議將分?jǐn)?shù)階時間導(dǎo)數(shù)引入到材料的本構(gòu)關(guān)系中,，能用較少的材料參數(shù)便能準(zhǔn)確地描述大量復(fù)雜的具有記憶性的材料的動力學(xué)特性,。為此，將式(1)的分?jǐn)?shù)階引入到式(2)當(dāng)中,，提出一種分?jǐn)?shù)階Bingham磁流變阻尼器力學(xué)模型,，如式(4)所示。

3 分?jǐn)?shù)階Bingham圖像去噪模型 

3.1 圖像去噪模型

    再令u(0)=u₀為初始含噪圖像,，得到PDE圖像去噪迭代模型：

3.2 數(shù)值解法

    數(shù)值解法采用有限差分方法,。將圖像看成向量[1×MN]，向量元素ui為像素灰度值,，i∈[1,，…，MN],，h表示離散網(wǎng)格大小,，t_k=τk為離散時間，其中k為正整數(shù)，τ為時間步長,。對圖像進(jìn)行時域微分：

得到分?jǐn)?shù)階微分掩模算子^[11],，即Tainsi算子，如圖1所示,。利用Tainsi算子對式(11)作分?jǐn)?shù)階微分處理,，得到一種分?jǐn)?shù)階邊緣檢測算子。

4 試驗結(jié)果

4.1 性能評價

    圖像去噪結(jié)果評價采用的評價測度方法有兩種^[12-13],，即信噪比(SNR)和平均結(jié)構(gòu)相似度(MSSIM),。SNR圖像去噪評價采用式(17)：

式中，M為局域窗口數(shù)目,，X,、Y為參考標(biāo)準(zhǔn)和去噪圖像。

4.2 結(jié)果

    對人工合成圖像進(jìn)行去噪,，并比較不同階數(shù)(0≤v≤1)的圖像去噪算法處理結(jié)果,，如圖2所示。圖2(a)大小為150×150,；噪聲圖像圖2(b)的SNR為7.966 5,，噪聲σ=10；圖2(c)～(f)分別為分?jǐn)?shù)階數(shù)為0,、0.3,、0.7、1,，迭代次數(shù)為40的圖像去噪結(jié)果,。從圖中看出，當(dāng)階數(shù)為0.7時,，圖像去噪效果最好,，既保持了邊緣，又去除了噪聲,。式(6)中v1和v2取不同值,，用分?jǐn)?shù)階Bingham圖像去噪模型式(7)對圖2(b)去噪，得到SNR和MSSIM值,，如表1所示。當(dāng)v1＝v2＝0.7時,，SNR最大,；當(dāng)v1＝v2＝0.5 時，MSSIM最大,。

    對Lena圖像進(jìn)行去噪,，并比較不同階數(shù)(0≤v≤1)圖像去噪算法處理結(jié)果，如圖3所示。圖3(a)大小為256×256,，噪聲圖像3(b)的SNR為12.653 1,，噪聲σ=10，圖3(c)～(f)分別為分?jǐn)?shù)階數(shù)為0,、0.3,、0.7、1,，迭代次數(shù)為10的圖像去噪結(jié)果,。從圖中看出，當(dāng)階數(shù)為0.3時,，圖像去噪效果最好,，既保持了邊緣，又去除了噪聲,。式(6)中v1和v2取不同值,，用分?jǐn)?shù)階Bingham圖像去噪模型式(7)對圖3(b)去噪，得到SNR和MSSIM值,，如表2所示,。當(dāng)v1＝0.2、v2＝0.3時,，SNR最大,；當(dāng)v1＝v2＝0.4 時，MSSIM最大,。

4.3 算法分析 

    提取圖2中的第75行像素值,，如圖4所示，圖中包括無噪像素值,、含噪圖像素值,、不同階數(shù)(v＝0、0.7,、1)的去噪圖像素值,。從圖看出，在平坦區(qū)域,，當(dāng)v＝0.7時像素值更接近真實值,，當(dāng)v＝1.0時像素值振蕩幅度最大，去噪效果最差,；在邊緣區(qū)域,，當(dāng)v＝1.0時邊緣保持效果最好，v＝0.7次之,，v＝0最差,；綜合比較,，當(dāng)v＝0.7時，分?jǐn)?shù)階Bingham力學(xué)模型效果最好,，既保持了圖像高頻邊緣信息,，又抑制了低頻區(qū)域噪聲，此現(xiàn)象與表1數(shù)值表現(xiàn)一致,。表1和表2中,，SNR與MSSIM的峰值位置距離較近，且SNR與MSSIM的數(shù)值變化趨勢保持一致,，從而證明選擇合適的分?jǐn)?shù)階數(shù)確能改善Bingham力學(xué)模型圖像去噪效果,。

5 結(jié)論

    圖像去噪是圖像處理中最基本問題之一，既實現(xiàn)去噪又保持圖像邊緣高頻信息是圖像去噪的重要目標(biāo),。本文利用Bingham磁流變阻尼器力學(xué)模型與分?jǐn)?shù)階微積分原理相結(jié)合,，提出一種分?jǐn)?shù)階磁流變阻尼器力學(xué)圖像去噪模型，MATLAB試驗結(jié)果表明：

    (1)根據(jù)Bingham磁流變阻尼器力學(xué)模型,，對剪切應(yīng)變率作分?jǐn)?shù)階處理,，推導(dǎo)得到分?jǐn)?shù)階Bingham圖像去噪模型是有效的。

    (2)定義的分?jǐn)?shù)階邊緣檢測算子及分?jǐn)?shù)階掩模算子(Tainsi算子)是可行的,，能有效檢測圖像邊緣,，具有較好抗噪性能。

    (3)通過選擇合適的分?jǐn)?shù)階階數(shù),，能夠優(yōu)化圖像去噪效果,，既能保持圖像邊緣信息，又能較好實現(xiàn)圖像去噪,。

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作者信息:

程玉柱，李趙春

（南京林業(yè)大學(xué) 機(jī)械電子工程學(xué)院 測控技術(shù)系,，江蘇 南京210037）