《電子技術(shù)應(yīng)用》
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基于分段多項(xiàng)式近似的DDFS研究及FPGA實(shí)現(xiàn)
2018年電子技術(shù)應(yīng)用第3期
韓 瀟1，曾 立1,，占 豐2,，陳 昱1
1.北京航空航天大學(xué) 空間與環(huán)境學(xué)院，北京100191,；2.山東航天電子技術(shù)研究所,，山東 煙臺(tái)264000
摘要： 提出一種直接數(shù)字頻率合成器(DDFS)的設(shè)計(jì)方法，采用分段多項(xiàng)式近似的算法模型代替?zhèn)鹘y(tǒng)的查找表方式,，實(shí)現(xiàn)相位至余弦幅度的映射,。選擇擬合余弦函數(shù)均方誤差最小的兩段四階偶次冪多項(xiàng)式，使在合成信號(hào)的無雜散動(dòng)態(tài)范圍(SFDR)達(dá)到最大(94.98 dBc),。然后基于FPGA實(shí)現(xiàn)了相幅映射為14位輸入位寬結(jié)構(gòu)的DDFS,，對實(shí)現(xiàn)該方法定點(diǎn)量化的數(shù)字系統(tǒng)進(jìn)行了分析和優(yōu)化，結(jié)果表明,，量化后的DDFS輸出信號(hào)幅度的絕對誤差小于2.6×10-4,，SFDR約93 dBc，接近理論上的SFDR上界,。該研究工作為下一代天基感應(yīng)式磁力儀的高精度在軌定標(biāo)信號(hào)源提供一種可能的新方法,。
中圖分類號(hào)： TN431.2
文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A
DOI：10.16157/j.issn.0258-7998.173080
中文引用格式： 韓瀟，曾立,，占豐,，等. 基于分段多項(xiàng)式近似的DDFS研究及FPGA實(shí)現(xiàn)[J].電子技術(shù)應(yīng)用，2018,，44(3)：22-25,，30.
英文引用格式： Han Xiao,，Zeng Li,，Zhan Feng，et al. FPGA implementation of a direct digital frequency synthesizer based on piecewise polynomial approximation[J]. Application of Electronic Technique,，2018,，44(3)：22-25，30.

FPGA implementation of a direct digital frequency synthesizer based on piecewise polynomial approximation
Han Xiao1,，Zeng Li1,，Zhan Feng2，Chen Yu1
1. School of Space and Environment,，Beihang University,，Beijing 100191，China,； 2.Shandong Institute of Aerospace Electronics Technology,，Yantai 264000，China
Abstract： A design of direct digital frequency synthesizer(DDFS) is proposed in this paper.Piecewise polynomial approximation algorithm is used to replace the look-up table,which leads to a phase to cosine amplitude mapper.The polynomial expression chosen by minimum-mead square error is used to achieve the maximum spurious free dynamic range(SFDR)，about 94.98 dBc. A DDFS of 14 bit input phase to amplitude mapper is developed in FPGA and an optimized digital system is designed to implement the method.It is shown that digitized amplitude error is smaller than 2.6×10-4 and promising result of 93 dBc SFDR,which is much closer to theoretical upper bound .This study also provide a new method about scaling signal source for next generation induction magnetometer.
Key words : DDFS,；piecewise polynomial approximation,；spurious free dynamic range；FPGA

0 引言

    感應(yīng)式磁力儀基于法拉第電磁感應(yīng)原理,，用于探測近地空間的低頻交變磁場[1],，它通常自帶標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)源，用于在軌定標(biāo),。高質(zhì)量的定標(biāo)檢測信號(hào),，是保證感應(yīng)式磁力儀探測到的變化磁場波形和頻譜信息科學(xué)性的前提。直接數(shù)字頻率合成技術(shù)[2](Direct Digital Frequency Synthesis,，DDFS)于1971年被J.Tierney首次提出,。DDFS采用數(shù)字技術(shù)，以相位為出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行頻率的合成,，具有高穩(wěn)定性,，高分辨率和較小的相位噪聲，DDFS的性能指標(biāo)遠(yuǎn)超傳統(tǒng)頻率合成技術(shù),，因此廣泛應(yīng)用于數(shù)字通信和精密儀器中,。利用直接數(shù)字頻率合成技術(shù)能為感應(yīng)式磁力儀提供高精度的標(biāo)準(zhǔn)定標(biāo)信號(hào)源。

    DDFS輸出信號(hào)的頻率表示為：

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其中FCW為頻率控制字,，傳統(tǒng)方法的相幅映射結(jié)構(gòu)基于查找表ROM,。ROM容量隨輸出的位寬D成指數(shù)增長[3]。為了減少ROM容量,，將相位累加器的位寬截?cái)嗖⒈Ａ舾遅位,，作為相幅映射的輸入位寬。由于相位截?cái)?，?huì)使合成信號(hào)的無雜散動(dòng)態(tài)范圍(Spurious Free Dynamic Range,，SFDR)有明顯的下降。非量化輸出的SFDR為所截?cái)嘧珠L的線性函數(shù)[4],，可近似為：

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D為輸出信號(hào)的位寬,，SFDR應(yīng)大于量化信噪比。利用三角函數(shù)四分之一象限對稱性的象限壓縮方法,，能進(jìn)一步減少查找表容量,，節(jié)省75%的資源使用。

    僅依賴對相位字的截?cái)嗪拖笙迚嚎s,，無法可觀地減小查找表容量,。多種其他幅相映射方法被廣泛研究，通常分為兩大類：

    ROM壓縮算法的角分解法[6]和ROM-Less的幅相轉(zhuǎn)換技術(shù),。ROM-Less型DDFS擺脫了大容量查找表的限制,，利用邏輯運(yùn)算,，將相位轉(zhuǎn)為幅度。如旋轉(zhuǎn)角算法(CORDIC算法)[7],，泰勒級(jí)數(shù)展開算法[8],，分段線性插值[3]和分段多項(xiàng)式近似法[9]。

    在分段多項(xiàng)式近似方法中,，隨分段多項(xiàng)式近似算法階數(shù)和分段數(shù)的增加,，在得到更小幅度誤差和高SFDR同時(shí)，增加了硬件資源占用和功率消耗,。因此平衡分段多項(xiàng)式近似算法的分段數(shù)與最高階,，是算法硬件實(shí)現(xiàn)平衡性能與資源占用的關(guān)鍵。

1 分段多項(xiàng)式近似算法方法研究

    用不等分的兩段四階偶次冪多項(xiàng)式近似為目標(biāo)函數(shù),，以區(qū)間壓縮方法為前提,，擬合余弦函數(shù)的前四分之一周期。相位分段點(diǎn)α將[0,，π/2]分為兩段,，擬合目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式為：

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pij(i=1，2,，j=0,，2，4)表示為第i段,，j階的系數(shù),。最大幅度誤差MAE和SFDR是評價(jià)DDFS輸出信號(hào)的兩個(gè)重要指標(biāo)，MAE降低到0時(shí),，理論上SFDR為無窮大,。由于量化位寬和硬件資源的限制，在實(shí)際的硬件電路中無法實(shí)現(xiàn),?？赏ㄟ^減小MAE來增大SFDR。

    α值固定時(shí),，通過最小均方MMSE得到對應(yīng)目標(biāo)函數(shù)最小誤差的多項(xiàng)式系數(shù)：

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在相位點(diǎn)為α=π/3處,，取得最MMSE,，最大絕對誤差為2.1×10-4<2-12,。表1為擬合結(jié)果多項(xiàng)式的系數(shù)。

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    f(x)的SFDR理論上限可通過傅里葉級(jí)數(shù)展開獲得,，由于所合成的余弦信號(hào)為偶對稱信號(hào),，且有四分之一象限的對稱性，因此只有奇數(shù)的余弦諧波系數(shù)非零,。

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    圖1為式(4)算法的傅里葉變換頻譜圖,，圖中所示理論上的SFDR上限為94.98 dBc,。

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    基于單段四階偶次冪多項(xiàng)式相幅映射輸出的SFDR理論上限為74.352 dBc[9]。上述近似算法輸出信號(hào)的SFDR大于該上限超過20 dBc,。

2 基于定點(diǎn)數(shù)的相幅映射設(shè)計(jì)

    用霍納法則實(shí)現(xiàn)4階偶次多項(xiàng)式可減少一個(gè)乘法器使用,，降低運(yùn)算復(fù)雜度。

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    本文所設(shè)計(jì)的DDFS結(jié)構(gòu)理論上SFDR最大值為94.98 dBc,，根據(jù)式(2)尋址位寬W應(yīng)有W>94.98,，取W=16，根據(jù)式(3)輸出D為15位,。上述DDFS結(jié)構(gòu)圖如圖2所示,。

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2.1 固定系數(shù)乘法器優(yōu)化

    數(shù)字電路對于2的整數(shù)次冪運(yùn)算能簡化為邏輯左移或者右移，

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式中,，hik∈{-1,，+1}，dik∈{…,，-2,，-1，0,，+1,，+2，…},。M的最大值受被乘數(shù)的字長制約,，應(yīng)盡可能取小以降低結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性。圖3所示為量化位寬為14的乘法器優(yōu)化,，其中虛線表示流水線級(jí),。

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    產(chǎn)生π/2弧度所需的固定系數(shù)乘法器如圖4所示。

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2.2 平方電路優(yōu)化

    平方運(yùn)算優(yōu)化分解為并行舍位運(yùn)算,，代替運(yùn)算后的簡單截取,，降低電路的復(fù)雜性[10]。圖2中所需的平方電路輸入為15位,，輸出為16位,。

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    改進(jìn)4級(jí)流水線的平方電路如圖5右所示。與直接截?cái)嘞啾葍H有1 LSB的舍入誤差,，小于2-15,。

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    量化誤差對于SFDR的影響是非線性的，利用Nelder-Mead非線性單純形法來重新計(jì)算式(12)中參數(shù),，優(yōu)化后系數(shù)見表2,。

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    圖6為定點(diǎn)量化后輸出信號(hào)的頻譜，SFDR為約為93.03 dbc,，與用浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算下的理論SFDR最大值相差約2 dBc,。因此本文的設(shè)計(jì)方法可在不明顯增加硬件資源消耗的前提下,，改善合成信號(hào)的SFDR。

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3 FPGA仿真與結(jié)果分析

    為了驗(yàn)證上述算法設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)DDFS的有效性,，以ISE為開發(fā)平臺(tái),，基于Xillinx spatan-6系列 XC6SLX16 FPGA進(jìn)行系統(tǒng)仿真驗(yàn)證。

    圖7為FCW=127時(shí)將程序下載到FPGA中,，利用虛擬邏輯分析儀chipscope在線采集到的波形數(shù)據(jù),。

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    表3列給出了本文設(shè)計(jì)方法與其他基于FPGA的DDFS實(shí)現(xiàn)的比較。

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    與文獻(xiàn)[7]算法相比,，本文方法在使用更少硬件資源的情況下,，能得到輸出誤差更小，并有更大運(yùn)算頻率的輸出信號(hào),。與文獻(xiàn)[11]～文獻(xiàn)[13]相比,，在得到同等SFDR水平下，本文所用硬件資源有所減少,，同時(shí)不影響最大運(yùn)算頻率,。

4 結(jié)論

    本文利用最小均方法得到的不等分的兩段四階偶次冪多項(xiàng)式為目標(biāo)函數(shù)擬合的余弦函數(shù)，可產(chǎn)生大于單段情況下約20 dBc的無雜散動(dòng)態(tài)范圍,。根據(jù)所得SFDR的上界,，分析選擇最優(yōu)的相幅映射輸入和輸出位寬。優(yōu)化了固定系數(shù)乘法器和平方器,，通過Nelder-Mead非線性單純形法來減少量化,，舍入和截?cái)嗨a(chǎn)生的誤差。與理論上界差值僅為2 dBc,，同時(shí)該DDFS結(jié)構(gòu)在得到同等SFDR水平下,，與其他設(shè)計(jì)方法比減少了資源使用，該設(shè)計(jì)方法為新一代天基星載感應(yīng)式磁力儀的高精度定標(biāo)信號(hào)源提供了新的設(shè)計(jì)思路,。

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作者信息:

韓  瀟1,，曾  立1,，占  豐2，陳  昱1

（1.北京航空航天大學(xué) 空間與環(huán)境學(xué)院,，北京100191,；2.山東航天電子技術(shù)研究所，山東 煙臺(tái)264000）

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