0 引言

    現(xiàn)實(shí)中的社會(huì)經(jīng)濟(jì)網(wǎng)絡(luò)與各種電力,、通信,、水電等基礎(chǔ)設(shè)施網(wǎng)絡(luò)存在邏輯和功能上的依賴,，一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)行依賴于另一個(gè)或幾個(gè)網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)行，比如電力網(wǎng)絡(luò)正常運(yùn)行為通信網(wǎng)絡(luò)提供電力保障,，通信網(wǎng)絡(luò)正常運(yùn)行又給電力網(wǎng)絡(luò)提供調(diào)控信息,，彼此形成更復(fù)雜的電力-通信網(wǎng)絡(luò)。這種由若干網(wǎng)絡(luò)彼此依賴而耦合成的網(wǎng)絡(luò)稱為“相依網(wǎng)絡(luò)”,。

    相依網(wǎng)絡(luò)的正常運(yùn)行至關(guān)重要,，相應(yīng)的故障研究工作起源于文獻(xiàn)[1]，BULDYREV S V在文獻(xiàn)[1]中研究了一對(duì)一互連的全相依網(wǎng)絡(luò)模型,，得出相依網(wǎng)絡(luò)的故障滲流過程為一階形式,，即網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)比例移除達(dá)到一定閾值，網(wǎng)絡(luò)完整性會(huì)急劇下降,，這一結(jié)論有別于單一或孤立網(wǎng)絡(luò),，單一或孤立網(wǎng)絡(luò)移除節(jié)點(diǎn)時(shí)的表現(xiàn)形式是逐步下降的二階形式。文獻(xiàn)[2]對(duì)相依網(wǎng)絡(luò)采用負(fù)載局部分配原則的容量-負(fù)載模型,，分析子網(wǎng)絡(luò)間的耦合強(qiáng)度,、子網(wǎng)絡(luò)類型和耦合邊的故障影響。文獻(xiàn)[3]研究不同攻擊策略對(duì)相依網(wǎng)絡(luò)的影響,，發(fā)現(xiàn)同時(shí)考慮不同子網(wǎng)節(jié)點(diǎn)度的攻擊策略比考慮單一子網(wǎng)的攻擊策略更有效,、破壞更嚴(yán)重。文獻(xiàn)[4]介紹相依網(wǎng)絡(luò)的來龍去脈,，并以經(jīng)濟(jì)網(wǎng)絡(luò)的相依網(wǎng)絡(luò)為例,，得出不同經(jīng)濟(jì)因素的排名,，表明中國經(jīng)濟(jì)增長趨勢(shì)強(qiáng)勁。文獻(xiàn)[5]在相依網(wǎng)絡(luò)的故障中綜合考慮相依邊的依賴關(guān)系,、負(fù)載作用,，提出一種相依網(wǎng)絡(luò)模型，同時(shí)還提出一種主動(dòng)的,、但存在微弱擾動(dòng)的故障恢復(fù)策略,。文獻(xiàn)[6]提出一種節(jié)點(diǎn)外部度和內(nèi)部度可調(diào)關(guān)系的相依網(wǎng)絡(luò)負(fù)載-容量模型，以研究外部度和內(nèi)部度等因素對(duì)級(jí)聯(lián)故障的影響,。文獻(xiàn)[7]構(gòu)建雙層相依控制網(wǎng)絡(luò)模型,，發(fā)現(xiàn)子網(wǎng)的平均度越大，網(wǎng)絡(luò)越魯棒,。文獻(xiàn)[8]提出網(wǎng)絡(luò)間同地位節(jié)點(diǎn)耦合的相依網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建方法,，將隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)作為耦合的子網(wǎng)，模擬故障滲流由一階非連續(xù)相變到二階連續(xù)相變的過程,。文獻(xiàn)[9]提出一種考慮負(fù)載作用的級(jí)聯(lián)故障模型和低成本的故障抑制策略,。

    上述研究現(xiàn)狀存在幾點(diǎn)不足：(1)負(fù)載分配策略采用局部分配策略，而實(shí)際中的節(jié)點(diǎn)故障會(huì)導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)負(fù)載發(fā)生全局重分配,；(2)評(píng)估指標(biāo)局限于最大連通子圖,，故障評(píng)估不夠全面。本文基于節(jié)點(diǎn)負(fù)載全局重分配策略,，對(duì)相依邊為邏輯依賴的相依網(wǎng)絡(luò)仿真分析,，采用（非）最大連通子圖占比、迭代步長和首次迭代中（平均/最大）最短路徑長度等指標(biāo)對(duì)相依網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行較全面的評(píng)估,。

1 相依網(wǎng)絡(luò)模型

1.1 相依網(wǎng)絡(luò)簡述

    單個(gè)或孤立的子網(wǎng)之間通過物理依附,、邏輯依賴等方式耦合成相依網(wǎng)絡(luò)。連接不同子網(wǎng)節(jié)點(diǎn)的邊稱作相依邊,，物理依附是指相依邊兩側(cè)的不同子網(wǎng)節(jié)點(diǎn)存在功能依賴：相依邊一側(cè)節(jié)點(diǎn)故障,，另一側(cè)節(jié)點(diǎn)也同樣會(huì)故障。邏輯依賴是指相依邊兩側(cè)不同子網(wǎng)節(jié)點(diǎn)存在結(jié)構(gòu)上的邏輯依賴：相依邊一側(cè)節(jié)點(diǎn)故障不一定會(huì)導(dǎo)致另一側(cè)節(jié)點(diǎn)故障,。

    節(jié)點(diǎn)度指節(jié)點(diǎn)的鄰居節(jié)點(diǎn)數(shù)目,，度越大，節(jié)點(diǎn)鄰居節(jié)點(diǎn)越多,。不同子網(wǎng)的節(jié)點(diǎn)一對(duì)一互連耦合時(shí),，存在3種耦合方式：隨機(jī)耦合、同配耦合和異配耦合,。隨機(jī)耦合指一子網(wǎng)中節(jié)點(diǎn)隨機(jī)選擇另一子網(wǎng)中節(jié)點(diǎn)連接,。同配耦合指一子網(wǎng)中大度節(jié)點(diǎn)與另一子網(wǎng)中大度節(jié)點(diǎn)連接，而小度節(jié)點(diǎn)與另一子網(wǎng)中小度節(jié)點(diǎn)連接,。異配耦合指一子網(wǎng)中大度節(jié)點(diǎn)與另一子網(wǎng)中小度節(jié)點(diǎn)連接^[10],。

    子網(wǎng)中參與連邊耦合的節(jié)點(diǎn)占比代表耦合強(qiáng)度,，節(jié)點(diǎn)占比越大說明耦合強(qiáng)度越大，若兩個(gè)子網(wǎng)的全部節(jié)點(diǎn)參與耦合互連,，則稱為全相依網(wǎng)絡(luò),，否則稱為部分相依網(wǎng)絡(luò)。

1.2 相依網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建過程

    將某個(gè)獨(dú)立的子網(wǎng)記作子網(wǎng)1,，對(duì)子網(wǎng)1復(fù)制一份副本,，記作子網(wǎng)2。按照以下2步構(gòu)建全相依網(wǎng)絡(luò)：

    (1)依據(jù)不同節(jié)點(diǎn)度（即節(jié)點(diǎn)的鄰居節(jié)點(diǎn)數(shù)目）排序規(guī)則,，對(duì)子網(wǎng)1和子網(wǎng)2中節(jié)點(diǎn)排序,，見表1。

    (2)按照表1,，對(duì)子網(wǎng)1和子網(wǎng)2中全部節(jié)點(diǎn)自上而下一對(duì)一依次互連,。

    通過以上步驟，生成隨機(jī)耦合全相依網(wǎng)絡(luò),、同配耦合全相依網(wǎng)絡(luò)和異配耦合全相依網(wǎng)絡(luò),，在不引起歧義的前提下，分別簡稱：隨機(jī)網(wǎng)絡(luò),、同配網(wǎng)絡(luò)和異配網(wǎng)絡(luò),。圖1是隨機(jī)耦合的全相依網(wǎng)絡(luò)的示意圖。

    圖1是由子網(wǎng)1和子網(wǎng)2節(jié)點(diǎn)一對(duì)一隨機(jī)互連的全相依網(wǎng)絡(luò),。實(shí)線代表子網(wǎng)內(nèi)的連邊,，稱之為“連接邊”，虛線代表子網(wǎng)間的“相依邊”,。

2 負(fù)載全局重分配的級(jí)聯(lián)故障模型

    通信、電力等網(wǎng)絡(luò),，其信息等物理量在網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)對(duì)之間傳遞,，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有一定初始負(fù)載和容量以維持網(wǎng)絡(luò)功能。

3 相依網(wǎng)絡(luò)的性質(zhì)

    仿真所用子網(wǎng)數(shù)據(jù)為電網(wǎng)拓?fù)銲EEE118網(wǎng)絡(luò)和新英格蘭高壓電England網(wǎng)絡(luò),，分別為118個(gè)節(jié)點(diǎn)和120個(gè)節(jié)點(diǎn),。依據(jù)前文的相依網(wǎng)絡(luò)模型，形成IEEE118隨機(jī)網(wǎng)絡(luò),、IEEE118同配網(wǎng)絡(luò),、IEEE118異配網(wǎng)絡(luò)、England隨機(jī)網(wǎng)絡(luò),、England同配網(wǎng)絡(luò)和England異配網(wǎng)絡(luò),，拓?fù)湫再|(zhì)如表2和表3所示。

    依表2和表3可知,，不同耦合方式相依網(wǎng)絡(luò)的平均聚類系數(shù)近似,，隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和異配網(wǎng)絡(luò)的平均最短路徑比同配網(wǎng)絡(luò)小,。同配網(wǎng)絡(luò)的同配系數(shù)為正數(shù)，而隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和異配網(wǎng)絡(luò)的同配系數(shù)為負(fù)數(shù),，這與相依網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建原理一致,。

4 不同評(píng)估指標(biāo)的仿真分析

    采用MATLAB仿真級(jí)聯(lián)故障，初始故障節(jié)點(diǎn)選擇子網(wǎng)1中節(jié)點(diǎn),，相依邊為邏輯依賴,。子網(wǎng)2節(jié)點(diǎn)只會(huì)由于過載而故障，不會(huì)由于相依邊的依賴而故障,。采用多個(gè)指標(biāo)評(píng)估級(jí)聯(lián)故障對(duì)相依網(wǎng)絡(luò)的影響,，仿真結(jié)果為子網(wǎng)1中全部節(jié)點(diǎn)迭代20次的平均值。

4.1 最大連通子圖分析

4.1.1 最大連通子圖占比

    由于相依網(wǎng)絡(luò)中不同子網(wǎng)部分節(jié)點(diǎn)之間存在邏輯依賴,，所以限定評(píng)估指標(biāo)—最大連通子圖必需同時(shí)包含2個(gè)子網(wǎng)的節(jié)點(diǎn),，否則說明網(wǎng)絡(luò)已完全崩潰。

    最大連通子圖占比表征為故障后剩余節(jié)點(diǎn)中最大連通子圖節(jié)點(diǎn)數(shù)目在節(jié)點(diǎn)總數(shù)中的占比,，占比越大,，級(jí)聯(lián)故障對(duì)相依網(wǎng)絡(luò)的破壞作用越小，結(jié)果如圖3所示,。

    分析可知,，容忍系數(shù)β越大，最大連通子圖占比越大,，級(jí)聯(lián)故障的破壞作用越小,。IEEE118和England的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和異配網(wǎng)絡(luò)在不同β下的級(jí)聯(lián)故障結(jié)果類似。在β=0時(shí),，同配網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)的最大連通子圖占比偏大,，級(jí)聯(lián)故障破壞最小,；而0.1≤β≤0.8時(shí),，同配網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)的最大連通子圖占比偏小，級(jí)聯(lián)故障對(duì)同配相依網(wǎng)絡(luò)的破壞最大,。

4.1.2 非最大連通子圖占比

    在每一迭代步后,，通過計(jì)算不屬于最大連通子圖的節(jié)點(diǎn)數(shù)目與節(jié)點(diǎn)總數(shù)的比值，結(jié)果如圖4所示,。

    總體趨勢(shì)而言,，β越大，非最大連通子圖占比越小,，這是由于β越大,，網(wǎng)絡(luò)越冗余，級(jí)聯(lián)故障對(duì)網(wǎng)絡(luò)的破壞越小，不屬于最大連通子圖的節(jié)點(diǎn)越少,。同時(shí),，在β值一定時(shí)，隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和異配網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果類似,，而同配網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)的y值明顯大于隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和異配網(wǎng)絡(luò),，即在遭受級(jí)聯(lián)故障后，同配網(wǎng)絡(luò)受到更大程度的破壞,。

4.2 迭代步長分析

    迭代步長描述從初始故障節(jié)點(diǎn)開始,，級(jí)聯(lián)故障一層一層擴(kuò)散的現(xiàn)象，代表網(wǎng)絡(luò)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)的故障迭代次數(shù),。迭代步長越大,，網(wǎng)絡(luò)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)間越晚，級(jí)聯(lián)故障的影響越久,；步長越小,，網(wǎng)絡(luò)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)間越早，級(jí)聯(lián)故障的影響越短,，結(jié)果如圖5所示,。

    由圖可知，迭代步長總體趨勢(shì)為隨著β變化,，先增加至峰值再遞減,。β=0.1時(shí)，迭代步長達(dá)到峰值,，β>0.1,，迭代步長隨著網(wǎng)絡(luò)冗余的增大而減少，且同配網(wǎng)絡(luò)的迭代步長下降最為緩慢,，網(wǎng)絡(luò)達(dá)到穩(wěn)定越晚,。IEEE118同配網(wǎng)絡(luò)在β≤0.1時(shí)，達(dá)到穩(wěn)定更早,。England不同相依網(wǎng)絡(luò)在β≥0.1時(shí),，迭代步長差異顯著。

4.3 首次迭代步中最短路徑長度分析

4.3.1 首次迭代步中過載節(jié)點(diǎn)的平均最短路徑長度

    初始故障節(jié)點(diǎn)i,，定義f(n)為第n個(gè)迭代步中過載節(jié)點(diǎn)集合，|f(n)|代表相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)數(shù)目,，k∈f(n),，則：

其中，dst(1)為首次故障迭代步中過載節(jié)點(diǎn)的平均最短路徑長度,。由于在n≥2時(shí),，不同迭代步之間存在多個(gè)故障觸發(fā)源，不便于分析，這里取n=1,。圖6是相依網(wǎng)絡(luò)首次迭代步中過載節(jié)點(diǎn)的平均最短路徑長度,。

    由圖6可知，β∈(0,，0.2)時(shí),，β越大，dst(1)越小,，說明網(wǎng)絡(luò)越冗余,，過載節(jié)點(diǎn)越傾向分布在初始故障節(jié)點(diǎn)附近。對(duì)比隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和異配網(wǎng)絡(luò),，同配網(wǎng)絡(luò)在β≥0.3時(shí),，dst(1)略有波動(dòng)但總體不變，說明網(wǎng)絡(luò)冗余超過一定閾值,，過載節(jié)點(diǎn)與初始故障節(jié)點(diǎn)具備相對(duì)不變距離(≈2),，即故障節(jié)點(diǎn)鄰居節(jié)點(diǎn)的鄰居節(jié)點(diǎn)。隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和異配網(wǎng)絡(luò)的dst(1)在更小的β下達(dá)到0,，這是因?yàn)殡S機(jī)網(wǎng)絡(luò)和異配網(wǎng)絡(luò)在此β下已達(dá)到穩(wěn)態(tài),。在β=0(即網(wǎng)絡(luò)無冗余)時(shí)，England同配網(wǎng)絡(luò)的過載節(jié)點(diǎn)傾向分布在遠(yuǎn)離初始故障節(jié)點(diǎn)處,，而IEEE118不同相依網(wǎng)絡(luò)則無區(qū)別,。

4.3.2 首次迭代步中過載節(jié)點(diǎn)的最大最短路徑長度

    定義f_max(n)為第n次迭代步中，距離初始故障節(jié)點(diǎn)i最遠(yuǎn)的過載節(jié)點(diǎn),，則：

其中,，dst_max(1)代表首次迭代步中過載節(jié)點(diǎn)的最大最短路徑長度，結(jié)果如圖7所示,。

    從圖7可知,，dst_max(1)曲線下降趨勢(shì)先快后緩慢。當(dāng)β=0時(shí),，過載節(jié)點(diǎn)非常遠(yuǎn)離初始故障節(jié)點(diǎn),；β=0.1時(shí)，dst_max(1)明顯小于β=0時(shí)值,，說明較小的網(wǎng)絡(luò)冗余能顯著降低最遠(yuǎn)的過載節(jié)點(diǎn)距離,；繼續(xù)增大網(wǎng)絡(luò)冗余（β≥0.2），則對(duì)降低過載節(jié)點(diǎn)最遠(yuǎn)距離無顯著作用(≈2,、3),。IEEE118和England同配網(wǎng)絡(luò)在β∈(0，0.4)下的dstmax(1)值明顯區(qū)別于隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和異配網(wǎng)絡(luò),。

5 結(jié)論

    本文對(duì)IEEE118電網(wǎng)和England網(wǎng)絡(luò)作為子網(wǎng)進(jìn)行耦合,，依據(jù)不同耦合方式，構(gòu)建3種不同的相依網(wǎng)絡(luò)。通過對(duì)不同相依網(wǎng)絡(luò)仿真級(jí)聯(lián)故障,，并從最大連通子圖,、迭代步長和過載節(jié)點(diǎn)分布對(duì)級(jí)聯(lián)故障深入分析，發(fā)現(xiàn)同配網(wǎng)絡(luò)比異配網(wǎng)絡(luò)和隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)更脆弱,，級(jí)聯(lián)故障對(duì)同配網(wǎng)絡(luò)的破壞更持久,，而隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和異配網(wǎng)絡(luò)具備相似的級(jí)聯(lián)故障特性。通過本文研究可知,，現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)耦合時(shí)應(yīng)避免同配方式耦合,，在故障發(fā)生前（后）時(shí)，應(yīng)有針對(duì)性地預(yù)防（檢修）故障節(jié)點(diǎn)的鄰居節(jié)點(diǎn)的鄰居節(jié)點(diǎn),，避免盲目工作,。

參考文獻(xiàn)

[1] BULDYREV S V，PARSHANI R,，PAUL G,，et al.Catastrophic cascade of failures in interdependent networks[C].APS March Meeting 2010.American Physical Society，2010：1025.

[2] 陳世明,，鄒小群,，呂輝，等.面向級(jí)聯(lián)失效的相依網(wǎng)絡(luò)魯棒性研究[J].物理學(xué)報(bào),，2014,，63(2)：428-437.

[3] 劉潤然，賈春曉,，章劍林,，等.相依網(wǎng)絡(luò)在不同攻擊策略下的魯棒性[J].上海理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2012(3)：235-239.

[4] HAVLIN S,，KENETT D Y.Cascading failures in interdependent economic networks[C].Proceedings of the International Conference on Social Modeling and Simulation,，plus Econo-physics Colloquium 2014.Springer International Publishing，2015.

[5] Hong Sheng,，Lv Chuan,，Zhao Tingdi，et al.Cascading failure analysis and restoration strategy in an interdependent network[J].Journal of Physics A Mathematical General,，2016,，49(19)：195101.

[6] 彭興釗，姚宏,，杜軍,，等.負(fù)荷作用下相依網(wǎng)絡(luò)中的級(jí)聯(lián)故障[J].物理學(xué)報(bào)，2015,，64(4)：351-358.

[7] 韓海艷，楊任農(nóng)，李浩亮,，等.雙層相依指揮控制網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效研究[J].中南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,，2015(12)：4542-4547.

[8] 李穩(wěn)國，鄧曙光,，楊冰,，等.相互依存網(wǎng)絡(luò)間的拓?fù)錁?gòu)建方法[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2014(11)：85-89.

[9] HONG S,，WANG B,，MA X，et al.Failure cascade in interdependent network with traffic loads[J].Journal of Physics A Mathematical & Theoretical,，2015,，48(48)：485101.

[10] 劉漳輝，陳國龍,，湯振立,，等.加權(quán)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)相繼故障的節(jié)點(diǎn)動(dòng)態(tài)模型研究[J].小型微型計(jì)算機(jī)系統(tǒng)，2013,，34(12)：2800-2804.

[11] Lin Guoqiang,，Di Zengru，F(xiàn)an Ying.Cascading failures in complex networks with community structure[J].International Journal of Modern Physics C,，2014,，25(5)：323-337.

作者信息:

王  曦，張新剛

(南陽師范學(xué)院 軟件學(xué)院,，河南 南陽473061)