摘  要： ACGS（Active Contours With Group Similarity）模型在CV模型的基礎(chǔ)上結(jié)合了矩陣的低秩性約束,，能較好地分割目標(biāo)特征缺失或錯(cuò)誤的相似圖像組,，但對(duì)于灰度不均的相似圖像組分割效果較差。而雙重輪廓演化曲線(xiàn)的圖像分割水平集模型在LBF模型的基礎(chǔ)上引入了目標(biāo)內(nèi)外兩條輪廓曲線(xiàn),，很好地克服了LBF模型對(duì)于初始輪廓的敏感性,，對(duì)于灰度不均的單張圖像分割效果較好。受此啟發(fā),，本文提出了基于雙重輪廓演化曲線(xiàn)的活動(dòng)輪廓模型來(lái)分割相似圖像組,。該模型首先結(jié)合LBF模型來(lái)更好地分割灰度不均的圖像；其次利用ACGS模型的低秩性質(zhì)來(lái)保持圖像間的相似程度,，從一定程度上改善了LBF模型在能量函數(shù)最小化時(shí)易陷入局部極小值的情形,；最后引入目標(biāo)內(nèi)外的兩條輪廓曲線(xiàn),，通過(guò)兩曲線(xiàn)在演化過(guò)程中分別對(duì)局部像素的直接作用而產(chǎn)生間接的相互聯(lián)系，從而有效地克服LBF模型對(duì)于初始輪廓的敏感性問(wèn)題,，使得該模型改善了對(duì)于灰度不均的相似圖像組的分割效果,。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與CV,、LBF,、ACGS以及雙重輪廓演化曲線(xiàn)模型的分割結(jié)果相比較，本文模型對(duì)于灰度不均的相似圖像組的分割效果具有優(yōu)越性,。

　　關(guān)鍵詞： ACGS模型,；雙重輪廓演化曲線(xiàn)模型；組相似性,；灰度不均,；LBF模型

0 引言

　　圖像分割是圖像處理領(lǐng)域的一個(gè)重要內(nèi)容，在實(shí)際生活中應(yīng)用廣泛[1],。圖像分割的方法多種多樣,，其中基于偏微分方程（PDE）[2]方法的活動(dòng)輪廓模型受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。該類(lèi)方法定義了一個(gè)能量泛函,，并通過(guò)最小化該能量泛函來(lái)驅(qū)使演化曲線(xiàn)朝目標(biāo)邊界逼近,。基于PDE的活動(dòng)輪廓模型可分為基于邊界的模型[3]和基于區(qū)域的模型[4],。由于利用活動(dòng)輪廓模型來(lái)分割單張圖像已無(wú)法滿(mǎn)足現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用需求,，因此對(duì)用于分割序列圖像的活動(dòng)輪廓模型的研究是當(dāng)前的一個(gè)熱門(mén)話(huà)題。

　　ACGS[5]模型在CV[6]模型的基礎(chǔ)上與矩陣的低秩性約束條件相結(jié)合,，是一種用于分割目標(biāo)特征缺失或錯(cuò)誤的相似圖像組的模型,。該模型利用一些特征點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示各圖像的演化曲線(xiàn)，并將這些曲線(xiàn)按列排序來(lái)構(gòu)造形狀矩陣,，通過(guò)形狀矩陣的秩的大小與目標(biāo)形狀的相似程度之間的關(guān)系來(lái)分割和還原相似圖像組,。由于ACGS模型摒棄了CV模型利用水平集函數(shù)來(lái)演化曲線(xiàn)的方法，并且約束條件作為正則項(xiàng)能更好地調(diào)整演化曲線(xiàn),，所以該模型具有算法計(jì)算量小,、收斂快速等優(yōu)點(diǎn)。但由于其結(jié)合了CV模型而只考慮圖像的全局信息,，所以ACGS模型對(duì)于局部灰度不均勻的相似圖像組分割效果較差,。

　　雙重輪廓演化曲線(xiàn)的圖像分割水平集模型[6]對(duì)于灰度不均的單張圖片分割效果較好,。該模型在LBF[8]模型的基礎(chǔ)上引入了目標(biāo)內(nèi)外兩條輪廓曲線(xiàn),，并通過(guò)在模型中設(shè)置相關(guān)項(xiàng)來(lái)自動(dòng)控制兩條輪廓曲線(xiàn)的走向，即通過(guò)最小化兩條輪廓曲線(xiàn)的差異使之同時(shí)向目標(biāo)的真實(shí)邊界逼近,，較好地克服了LBF模型對(duì)于初始輪廓的敏感性,。因此該模型對(duì)于灰度不均的單張圖像分割效果較好。

　　綜合考慮了以上兩個(gè)模型的優(yōu)缺點(diǎn)，本文提出基于雙重輪廓演化曲線(xiàn)的ACGS模型來(lái)分割相似圖像組,。該模型首先結(jié)合LBF模型來(lái)更好地分割灰度不均的相似圖像組,；其次利用ACGS模型的低秩性質(zhì)來(lái)保持圖像間的相似程度，從一定程度上改善了LBF在能量函數(shù)最小化時(shí)易陷入局部最小值的情形,；最后引入目標(biāo)內(nèi)外的兩條輪廓曲線(xiàn),，通過(guò)兩曲線(xiàn)在演化過(guò)程中分別對(duì)局部像素的直接作用而產(chǎn)生間接的相互聯(lián)系，從而有效地克服LBF模型對(duì)于初始輪廓的敏感性問(wèn)題,，使得該模型對(duì)于灰度不均的相似圖像組分割效果較好,。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文模型對(duì)灰度不均的相似圖像組分割效果優(yōu)于其他幾個(gè)模型,。

1 相關(guān)背景

　　1.1 ACGS模型

　　ACGS模型[5]利用了圖像組矩陣的低秩性與圖像間相似程度的關(guān)系來(lái)演化活動(dòng)輪廓曲線(xiàn),，在一定程度上改善了能量函數(shù)最小化時(shí)易陷入局部最小值的情形，適用于分割目標(biāo)特征缺失或錯(cuò)誤的相似圖像組,。該模型的優(yōu)點(diǎn)是利用特征點(diǎn)的坐標(biāo)而非水平集函數(shù)來(lái)表示演化曲線(xiàn),，并且引入了約束項(xiàng)來(lái)調(diào)整曲線(xiàn)，所以算法計(jì)算量小,，且收斂快速,。但由于其結(jié)合了CV模型而只考慮圖像的全局信息，所以缺點(diǎn)是對(duì)于局部灰度不均勻的相似圖像組分割效果不理想,。

　　設(shè)I1,，I2，…,，In為一組序列圖像,，C1，C2,，…,，Cn分別表示每幅圖像上的閉合輪廓曲線(xiàn)。用曲線(xiàn)C上的一些特征點(diǎn)（xi,，yi）來(lái)表示曲線(xiàn)C,，則可得C=[x1，…,，xp,，y1，…,，yp]T∈R2p,。由于C1，C2,，…,，Cn之間存在仿射變換關(guān)系,，所以對(duì)于?坌n，p,，形狀矩陣X=[C1,，C2，…,，Cn]∈R2p×n滿(mǎn)足rank（X）≤k,，其中k為預(yù)先給定的常數(shù)。由于形狀矩陣的秩可以描述圖像組中每幅圖像的目標(biāo)形狀之間的相似程度,，秩越低則形狀越相似,，因此參考文獻(xiàn)[5]提出了式（1）所示的帶有約束條件的能量函數(shù)來(lái)求解目標(biāo)輪廓組C1，C2,，…,，Cn

　　λ1，λ2>0,，≥0,，u1和u2分別為Cin和Cout的像素點(diǎn)的平均亮度值。不失一般性,，參考文獻(xiàn)[5]中的λ1,，λ2均取值為1，而取值為0,。

　　由于形狀矩陣的秩是離散算子難以?xún)?yōu)化,，因此將式（1）改為松弛形式，如式（3）：

　　上式即為ACGS模型的能量泛函,，具體的求解過(guò)程參見(jiàn)文獻(xiàn)[5],。

　　1.2 雙重輪廓演化曲線(xiàn)的圖像分割水平集模型

　　雙重輪廓演化曲線(xiàn)模型[7]通過(guò)構(gòu)造兩條初始輪廓曲線(xiàn)進(jìn)行同時(shí)演化，來(lái)克服傳統(tǒng)的用于分割灰度不均圖像的LBF[8]模型對(duì)于初始輪廓敏感的缺點(diǎn),，從而改善了對(duì)于灰度不均的單張圖像分割效果,。該模型設(shè)置了兩條輪廓曲線(xiàn)的相關(guān)項(xiàng)，通過(guò)最小化兩曲線(xiàn)的差異來(lái)自動(dòng)控制它們的演化趨勢(shì),，使得兩輪廓曲線(xiàn)逐漸逼近目標(biāo)邊界并最終穩(wěn)定在邊界上,。

　　設(shè)均為水平集函數(shù)，利用它們的零水平集來(lái)表示內(nèi)外兩條輪廓曲線(xiàn),，提出如下的雙重輪廓線(xiàn)水平集模型能量函數(shù)：

　　式（4）,、（5）中為非負(fù)常數(shù)，λ1,、λ2為正值參數(shù),，f1，f2和f3,，f4分別表示圖像I在水平集函數(shù)所表示曲線(xiàn)的內(nèi)部和外部區(qū)域的局部平均灰度值,。Hε（·）為正則化heaviside函數(shù)，滿(mǎn)足Hε（·）→H（·）,，ε→0,。K為基于標(biāo)準(zhǔn)差的高斯核函數(shù)，且

　　式（4）中第一,、二項(xiàng)分別表示圖像I關(guān)于水平集函數(shù)的能量泛函,，第三項(xiàng)的相互作用項(xiàng)，w為非負(fù)權(quán)重系數(shù),。式（5）的能量泛函是在LBF模型的能量項(xiàng)的基礎(chǔ)上加入了長(zhǎng)度項(xiàng)和懲罰項(xiàng),，其中長(zhǎng)度項(xiàng)能減少尖點(diǎn)的產(chǎn)生，懲罰項(xiàng)則可以避免水平集函數(shù)重新初始化以及加快演化速度,。文獻(xiàn)[7]中求得式（4）的演化方程為：

2 DLBF_GS模型

　　通過(guò)對(duì)上述兩個(gè)模型的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行分析后,，本文提出了基于雙重輪廓演化曲線(xiàn)的ACGS模型（DLBF_GS模型）。該模型既結(jié)合了用于分割灰度不均圖像的LBF模型,，又保留了ACGS模型中關(guān)于相似圖像組的低秩性約束,，以保持圖像間的相似程度，并從一定程度上改善了LBF模型在能量函數(shù)最小化時(shí)易陷入局部最小值的問(wèn)題,，還引入了雙重輪廓演化曲線(xiàn)模型中目標(biāo)內(nèi)外的兩條輪廓曲線(xiàn),，通過(guò)兩曲線(xiàn)在演化過(guò)程中分別對(duì)局部像素進(jìn)行直接作用而產(chǎn)生間接的相互聯(lián)系，從而有效克服LBF模型對(duì)于初始輪廓的敏感性問(wèn)題,，因此本文模型對(duì)灰度不均的相似圖像組進(jìn)行分割時(shí)可達(dá)到較好的效果,。

　　由于低秩性約束條件使得活動(dòng)輪廓模型能有效減少尖點(diǎn)，并且采用特征點(diǎn)的坐標(biāo)而非水平集函數(shù)來(lái)表示演化曲線(xiàn)可以避免水平集函數(shù)重新初始化問(wèn)題,，因此每幅圖像上的能量泛函只需保留式（4）中的一,、二項(xiàng)和式（5）中不含水平集函數(shù)的一、二兩項(xiàng)即可,。因此,，基于雙重輪廓演化曲線(xiàn)的ACGS模型的能量泛函為：

　　j=1，2,，k=1,，3，且j=1時(shí)k=1,，j=2時(shí)k=3,。Cj_in和Cj_out分別表示曲線(xiàn)j的內(nèi)部和外部。λ1,，λ2取值為1,。利用近端梯度法[9]求解式（10），可得：

　　P·PF2表示Frobenius范數(shù),，u為常數(shù),，X1,，2′表示上一次迭代中X1，2的估計(jì)值,，且

　　式（13）中的i=1,，2，…,，n,，njp表示演化曲線(xiàn)Cj上點(diǎn)p的單位法向量，其正方向?yàn)橹赶蜻h(yuǎn)離圓心的反方向[10],。本文模型剩余的求解過(guò)程具體可參照文獻(xiàn)[5],。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

　　本節(jié)主要對(duì)海星圖像組和蝴蝶圖像組進(jìn)行試驗(yàn)，并通過(guò)與CV模型,、LBF模型,、ACGS模型以及雙重輪廓演化曲線(xiàn)模型的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，得出本文模型對(duì)于灰度不均的相似圖像組分割效果具有優(yōu)越性,。參與實(shí)驗(yàn)的海星圖像組為200×180×12（張）,，蝴蝶圖像組為220×161×15（張），但是為了便于說(shuō)明,，本文只從兩組圖像組中分別提取幾張圖像的實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)分析五種模型的分割效果,。實(shí)驗(yàn)程序用MATLAB R2012a編寫(xiě)，運(yùn)行環(huán)境為Windows XP系統(tǒng),。兩個(gè)圖像組的初始輪廓中心點(diǎn)均設(shè)定在圖像中心,，且每個(gè)圖像組中各幅圖像的初始輪廓位置、大小均相同,。所有模型均選取相同的長(zhǎng)度項(xiàng)權(quán)重?滋為1,，時(shí)間迭代步長(zhǎng)均為1，LBF模型和雙重輪廓演化曲線(xiàn)模型的高斯濾波的窗口大小為5,。

　　圖1,、圖2分別為五種模型對(duì)海星圖像組和蝴蝶圖像組的分割結(jié)果。每幅圖按行從上至下依次對(duì)應(yīng)CV模型,、LBF模型,、ACGS模型、雙重輪廓演化曲線(xiàn)模型和本文模型的分割結(jié)果,。

　　圖1抽取了第1,、5、8,、9,、10幅圖像，其中第一、二列為背景比較復(fù)雜的圖像,；第三列為目標(biāo)與背景的灰度相似的圖像,；第四列圖像的背景比較簡(jiǎn)單，但目標(biāo)灰度不均勻,；第五列為背景的局部灰度變化劇烈的圖像,。從圖1可以看出，本文模型的分割效果明顯優(yōu)于CV模型,、LBF模型和雙重輪廓演化曲線(xiàn)模型,，并且與ACGS模型相比,，本文模型對(duì)于分割背景復(fù)雜的圖像效果更好,，而在分割局部灰度不均的圖像時(shí)則更貼近目標(biāo)邊界，因此本文模型的分割效果最好,。

　　圖2抽取了第1,、4、7,、9,、13幅圖像。觀察可知,，由于蝴蝶翅膀的花紋和顏色各不相同,，使得蝴蝶翅膀的灰度非常不均勻。如第1,、2,、3、5列,，當(dāng)蝴蝶翅膀的灰度變化比較劇烈時(shí),，本文模型的分割效果會(huì)明顯優(yōu)于前四種模型的效果；如第4列,，當(dāng)蝴蝶翅膀的灰度變化不太劇烈時(shí),，本文模型和雙輪廓演化曲線(xiàn)模型均能取得較好的分割效果。

　　表1給出了五種模型在兩次實(shí)驗(yàn)中的運(yùn)行參數(shù),、收斂次數(shù)和時(shí)間,，其中ri，λi分別表示第i條初始輪廓曲線(xiàn)的半徑和形狀相似性權(quán)重值,。觀察表中數(shù)據(jù)可知,，由于加入兩條輪廓曲線(xiàn)來(lái)共同演化，以及引入了比CV模型更耗時(shí)的LBF模型,，使得在圖像相對(duì)復(fù)雜的第一組實(shí)驗(yàn)中,，本文模型的運(yùn)行時(shí)間幾乎是ACGS模型的兩倍，與雙重輪廓演化曲線(xiàn)模型的時(shí)間相近,；但低秩性約束條件還是有加快模型演化的作用,，因此在圖像相對(duì)簡(jiǎn)單的第二組實(shí)驗(yàn)中,，本文模型的耗時(shí)與ACGS模型相近，并且少于雙重輪廓演化曲線(xiàn)模型的運(yùn)行時(shí)間,。

4 結(jié)論

　　本文針對(duì)ACGS模型不能較好地分割灰度不均的相似圖像組這一問(wèn)題,，提出了基于雙重輪廓演化曲線(xiàn)的ACGS模型。該模型首先利用LBF模型代替ACGS模型中的CV模型,，有效地改善了對(duì)灰度不均圖像分割的效果,；其次利用ACGS模型的低秩性約束來(lái)保持圖像間的相似程度，在一定程度上改善了LBF模型在能量函數(shù)最小化時(shí)易陷入局部最小值的問(wèn)題,，以及減少尖點(diǎn)的出現(xiàn),；最后引入雙重輪廓演化曲線(xiàn)模型中的目標(biāo)內(nèi)外兩條輪廓曲線(xiàn)，通過(guò)兩曲線(xiàn)在演化過(guò)程中分別對(duì)局部像素進(jìn)行直接作用而產(chǎn)生間接的相互聯(lián)系,，從而有效克服LBF模型對(duì)于初始輪廓的敏感性問(wèn)題,。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文模型對(duì)于分割灰度不均的相似圖像組效果較好。

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