摘 要： 根據(jù)理想導(dǎo)體的邊界條件建立線、面連接結(jié)構(gòu)的電場(chǎng)積分方程。該積分方程運(yùn)用矩量法直接進(jìn)行計(jì)算時(shí)，隨著電尺寸增大，計(jì)算量和存儲(chǔ)量就會(huì)迅速增加，進(jìn)而降低了求解的效率。為了降低計(jì)算量和存儲(chǔ)量，運(yùn)用H2矩陣方法的可容許條件將阻抗矩陣元素劃分為遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)的矩陣塊和近區(qū)場(chǎng)的矩陣塊。近區(qū)場(chǎng)的矩陣塊直接用矩量法計(jì)算并進(jìn)行存儲(chǔ)，遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)的矩陣塊通過(guò)H2矩陣的層間插值的方法進(jìn)行處理并存儲(chǔ)，從而有效地降低了計(jì)算量和存儲(chǔ)量。
關(guān)鍵詞： MoM；H2矩陣；電場(chǎng)積分方程
0 引言
實(shí)際工程問題中，常常遇到線天線與平臺(tái)相連的情況（例如飛機(jī)、輪船、手機(jī)上的天線等），于是求解這類的電場(chǎng)積分方程問題具有非常重要的意義。
可是運(yùn)用矩量法（MoM）[1]直接求解計(jì)算該積分方程時(shí)，隨著目標(biāo)電尺寸增大，計(jì)算量和存儲(chǔ)量就會(huì)迅速增加，進(jìn)而降低了求解的效率。隨著電磁數(shù)值計(jì)算的發(fā)展，陸續(xù)地提出了不少快速算法，例如FMM[2]、MLFMA[3]、CG-FFT以及H-Matrix[4-5]等，雖然這些算法中最好的已經(jīng)能夠?qū)⒂?jì)算量和存儲(chǔ)量從最初的O（N2）和O（N3）的數(shù)量級(jí)降低到O（NlogN）的數(shù)量級(jí)，但是這并不是最理想的情況，當(dāng)未知量N繼續(xù)增大時(shí)，O（NlogN）的數(shù)量級(jí)還是很驚人的。于是本文通過(guò)結(jié)合H2-Matrix[6]算法實(shí)現(xiàn)將數(shù)量級(jí)降低到O（N）線性階的關(guān)系。
1 線面連接結(jié)構(gòu)的積分方程的構(gòu)建
空間中任意一點(diǎn)的散射電場(chǎng)Es（r）是由線面連接結(jié)構(gòu)的面電流密度Js（r）和線電流密度Jw（r）二者綜合作用產(chǎn)生的，表達(dá)式為：
其中，A（r）表示磁矢量位；S，W，J，分別表示面、線、連接點(diǎn)三種情況；G（r，r′）表示三維格林函數(shù)；k是自由空間波數(shù)；ρ（r）表示感應(yīng)電荷密度；r，r′分別表示場(chǎng)點(diǎn)和源點(diǎn)。
理想導(dǎo)體表面的切向電場(chǎng)邊界條件為：
其中，為單位切向矢量。
將式（1）代入式（2）得到：
2 H 2矩陣求解積分方程
式（3）中的未知量Jγ（r）可以用一組線性不相關(guān)的基函數(shù)fnγ（r）展開，理想導(dǎo)體的表面部分選用RWG基函數(shù)[7]，導(dǎo)線部分選用三角基函數(shù)，而線-面連接點(diǎn)選用連接基函數(shù)[8]，然后運(yùn)用伽略金法得到矩陣形式ZI=V的積分方程如下：
ZSS ZSW ZSJZWS ZWW ZWJZJS ZJS ZJJ·ISIWIJ=ESEWEJ（4）
對(duì)于式（4）中的阻抗矩陣Z中的元素運(yùn)用可容性條件[5]將其劃分為近區(qū)塊和遠(yuǎn)區(qū)塊。
近區(qū)塊中的阻抗矩陣元素是不可容的，直接采用矩量法進(jìn)行計(jì)算。
而對(duì)于遠(yuǎn)區(qū)塊中可容的阻抗矩陣元素運(yùn)用H2矩陣方法計(jì)算。遠(yuǎn)區(qū)塊的核函數(shù)-格林函數(shù)采用Lagrange多項(xiàng)式[9]進(jìn)行退化核處理。于是式（3）中的核函數(shù)G（r，r′）可以寫成如下形式：
其中，相應(yīng)的Lagrange多項(xiàng)式，Kt和Ks為相應(yīng)的插值點(diǎn)個(gè)數(shù)。將式（5）帶入阻抗元素表達(dá)式可得
這就意味著只需要存儲(chǔ)葉子簇E矩陣Vt并且使用轉(zhuǎn)移矩陣E就可以精確地表示所有的簇樹，因?yàn)檗D(zhuǎn)移矩陣只需要k（t′）k（t）個(gè)存儲(chǔ)單元，而矩陣Vt需要tgk（t）個(gè)存儲(chǔ)單元，k（t）=t，因此H2矩陣的嵌套結(jié)構(gòu)有效節(jié)省了存儲(chǔ)量。從而使H2矩陣的計(jì)算量和存儲(chǔ)量近似達(dá)到線性階O（N）。
下面就運(yùn)用存儲(chǔ)量小、步收斂性、穩(wěn)定性高的共軛梯度迭代法[10-12]求解矩陣-向量方程，得出感應(yīng)電流。
3 數(shù)值算例
算例1 為了驗(yàn)證矩量法結(jié)合H2矩陣方法的正確性，首先計(jì)算了頻率為300 MHz的均勻平面波，它沿θ=0°，φ=0°入射到半徑為0.8λ的金屬球上，其中散射方向?yàn)棣?0°~180°，φ=0°。通過(guò)對(duì)兩種計(jì)算方法結(jié)果的比較（如圖1所示）可以判斷出H2矩陣方法的正確性。
算例2 電磁波頻率f=300 MHz，輻射方向?yàn)棣?0°~180°，激勵(lì)采用連接點(diǎn)饋電，分別計(jì)算了0.6λ~ 2.8λ，H2矩陣算法與MoM分別計(jì)算時(shí)存儲(chǔ)量隨未知量的變化，以及阻抗矩陣元素計(jì)算時(shí)間量隨未知量的變化，結(jié)果如圖2和圖3所示。從圖2、圖3可以看出，H2矩陣算法不管是阻抗矩陣元素的求解時(shí)間還是總的程序求解時(shí)間都明顯比MoM要少，并且可以看出H2矩陣算法的計(jì)算量隨未知量的變化近似呈線性階O（N）的增長(zhǎng)趨勢(shì)。
圖4給出了H2矩陣算法與矩量法求解電場(chǎng)積方程所需存儲(chǔ)量隨未知量變化的曲線圖。由圖4可知，MoM計(jì)算時(shí)所需的存儲(chǔ)量隨著未知量的變化呈O（N2）的關(guān)系迅速增加，而H2矩陣所需的存儲(chǔ)量與未知量之間的關(guān)系呈線性階O（N）的變化趨勢(shì)。
4 結(jié)論
本文采用H2矩陣算法計(jì)算電場(chǎng)積分方程，通過(guò)傳遞矩陣的嵌套方法能夠有效地將計(jì)算所需的存儲(chǔ)量和計(jì)算量近似降低到線性階O（N）。同時(shí)H2矩陣算法對(duì)模型并沒有具體的要求，可以推廣到求解任意導(dǎo)體線面結(jié)構(gòu)的模型。
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