摘 要： 子空間理論中被用于奇異值分解或特征值分解的自相關(guān)矩陣,通常可表示為接收向量與其自身轉(zhuǎn)置的乘積,。提出了自相關(guān)矩陣的新型構(gòu)造算法,。該算法構(gòu)造的自相關(guān)矩陣，特征值分解后其對噪聲不敏感,，克服了常規(guī)子空間方法的弱點(diǎn),。仿真試驗(yàn)表明，該方法應(yīng)用在高噪聲,、低信噪比的實(shí)際通信環(huán)境下,，特征值不會被噪聲湮沒，從根本上解決了傳統(tǒng)子空間分辨率不足的問題,。同時,，仿真表明，該方法對于多用戶擴(kuò)頻信號同樣適用,，可解決多用戶擴(kuò)頻信號的碼元分離問題,，其計算結(jié)果與理論計算一致，驗(yàn)證了算法的正確性,。

　　關(guān)鍵詞： 子空間理論,；相關(guān)矩陣；特征值分解,；直序列擴(kuò)頻

0 引言

　　基于特征值分解（EVD）和基于奇異值分解（SVD）的子空間算法是近年來研究的熱門方向,。其在信號處理方面，如信號的頻譜估計,、陣列傳感器數(shù)據(jù)估計和其他參數(shù)估計[1]等方面越來越受到廣泛重視,。但上述研究都是針對普通高信噪比情況下的調(diào)制信號而言，對于噪聲環(huán)境中的擴(kuò)頻后的直擴(kuò)信號罕有研究,，對此,，本文改進(jìn)了子空間算法的分解矩陣——相關(guān)矩陣，對含噪情況下的直擴(kuò)信號的分解算法做出了研究,。

　　子空間[2]的相關(guān)矩陣（這里用R表示）可以用如下公式表示：

　　其中yi代表第i個采樣窗口內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)（共M個采樣點(diǎn)）,；代表N個窗口內(nèi)所有數(shù)據(jù)的平均值,。

　　從上式可以看出，特征值的大小取決于信噪比而與統(tǒng)計窗口累計次數(shù)的多少并無關(guān)聯(lián),。由此可以得出結(jié)論,，傳統(tǒng)子空間方法[3-4]，僅僅依靠增加統(tǒng)計窗口個數(shù)是無法解決提取信號特征值[5],，每個窗口如果都是處于較低信噪比的條件下,，信號特征值仍然會湮沒在噪聲中。

　　區(qū)別于傳統(tǒng)子空間方法,，本文提出的重構(gòu)方法,，對R的建立不再采用missing image file的方式，而改用累乘的方法,，即采樣后的一段數(shù)據(jù),，各個窗口累乘，從而構(gòu)造出新的相關(guān)矩陣,。下文簡稱該方法為累乘算法（Matrix Multiplication based Subspace,，MMS）。

　　該算法構(gòu)造的新型矩陣具備如下特點(diǎn)：

　?。?）保留傳統(tǒng)子空間方法構(gòu)造矩陣的特性（在信號特征值與信噪比函數(shù)之間建立聯(lián)系）。

　?。?）分解后的信號特征值大小與累計窗口數(shù)量相關(guān),。即信號特征值既是信噪比（SNR）ρ的函數(shù)也是累積窗口分段數(shù)K的函數(shù)。

　?。?）分析窗口數(shù)量越多,，信號特征值增長越快，而噪聲特征值幾乎不隨分析窗口的數(shù)量增長而增長,。當(dāng)累計窗口數(shù)量達(dá)到一定程度時,，就能明顯區(qū)分出信號特征值與噪聲特征值。

　　文中最后將該算法構(gòu)造的相關(guān)矩陣用矩陣特征值分解后得到新的特性,，并將直擴(kuò)信號作為算法的輸入信號源,，最終成功提取出多用戶直擴(kuò)信號碼型。

1 直序列擴(kuò)頻信號數(shù)學(xué)模型

　　直序列擴(kuò)頻是將一個較窄的用戶信號,，通過直接相乘,，使其變成一種寬帶、高速率的碼元信號,。由于信號速率提高,，從頻域上看，其占用的帶寬相應(yīng)也變寬,。

　　對本文使用到的各種數(shù)學(xué)符號作如下定義：

　　missing image file :用戶擴(kuò)頻序列,；

　　P:序列位數(shù)（長度）,；

　　Ts: 符號周期；

　　Te: 采樣周期,；

　　Tc:碼片周期(),；

　　t0: 失步時間（采樣窗口與實(shí)際的符號起止窗口時間差），如圖1所示,；

　　h(t):信號傳輸過程中所有信號畸變帶來的影響總和,，也可以理解為傳輸鏈中發(fā)射端濾波器、信道濾波器,、接收端濾波器和其他信道畸變影響帶來失真的卷積,表示如下：

　　missing image file：h(t)的矢量表示,；

　　s(t): 擴(kuò)頻信號經(jīng)接收機(jī)接收、解調(diào)后的基帶信號:

　　n(t)：噪聲,；

　　σ2: 噪聲方差;

　　y(t)=s(t)+n(t): 接收機(jī)解調(diào)輸出含噪信號,。

　　對上述變量和以下要推導(dǎo)的公式，需做如下限定：

　?。?） 擴(kuò)頻前用戶基帶信號ak在較長期限內(nèi)“+1”,、“-1”數(shù)量大體相等，均值為零,；

　?。?）n(t)為與信號ak相互獨(dú)立的（完全不相關(guān)的）高斯型白噪聲；

　?。?）通過參考文獻(xiàn)[6-7],，已經(jīng)獲取到該擴(kuò)頻信號的一些參數(shù)，如射頻載波頻率f0,、符號周期Ts,、碼片周期Tc等。

　　對于假設(shè)（3）,，使用循環(huán)譜相關(guān)方法能夠在極低SNR下計算出碼片周期Tc和載波頻率f0,。一旦f0可得，可以設(shè)計相應(yīng)下變頻接收機(jī),，通過NCO產(chǎn)生f0頻率,，對射頻信號f0進(jìn)行相乘，從而下變頻到基帶,。

　　若Tc已知,，為了后續(xù)計算的簡便，可將仿真采樣周期Te直接設(shè)置成Tc,，但這樣僅僅為了計算方便,，并非必要，即Tc可不知。

　　同樣,，采用倒譜技術(shù)能估計出擴(kuò)頻信號的符號周期Ts,，將采樣窗口周期設(shè)置為Ts。

2 累乘算法

　　按照上節(jié)所述,，每個采樣窗口時長為Ts,，每個窗口內(nèi)再分為K段，K段內(nèi)又包含N個獨(dú)立計算窗口,，每段單獨(dú)計算自相關(guān),。將K個自相關(guān)矩陣相乘，得到新算法后的帶分解矩陣：

　　式中表示第k個N組窗口的均值,；yi表示k段第i個窗口中采樣序列,。yi為列矢量。

　　按照上述理論,，采樣窗口周期設(shè)置為符號周期,，單個采樣周期內(nèi)應(yīng)該橫跨兩個符號，其中一個符號為ak,，保持時間為t0（t0為失步時間,，未知）；第二個符號表示為 ak+1,，保持時間為整個符號周期減去上一個符號的保持周期(Ts-t0),。由于單個采樣周期內(nèi)存在兩個符號，對該采樣周期內(nèi)的相關(guān)矩陣分解后,，將呈現(xiàn)兩個較大特征值,，該特征值分別表示上述兩個符號，而其他特征值均為噪聲特征值：

　　根據(jù)式（3）,，有：

　　其中I為單位矩陣。由式（4）可以得出：矩陣中存在兩個較大的特征值,，每個值對應(yīng)特征矢量為missing image file/missing image file與系數(shù)的乘積,。

　　根據(jù)如下定義，可改寫式（4）,，為基帶符號的方差,，定義：

　　定義如下：

　　式（4）可改寫為式（5）：

　　擴(kuò)頻后的信號方差可表示為：

　　信噪比不直接采用信號比噪聲，也不采用dB為單位的對數(shù)表達(dá)式,，定義如下：

　　式（5）可改寫為：

　　對矩陣（6）進(jìn)行特征值分解,，R的特征值中λ1、 λ2為上述表達(dá)符號矢量的兩個較大特征值（信號特征值）,，其他特征值λi(i≥3)則可稱為噪聲特征值,，由系統(tǒng)中的各類噪聲引起。

　　根據(jù)式（7），使用新型累乘構(gòu)造方法,，λ1,、λ2不僅與信噪比ρ有關(guān)，同時也與分段數(shù)量K相關(guān)（即λ1,、 λ2是ρ和K的函數(shù)）,。

　　比較傳統(tǒng)子空間相關(guān)函數(shù)構(gòu)造方法：

　　從式(8)可以得到，傳統(tǒng)方法僅是信噪比ρ的函數(shù),而與參與計算的窗口數(shù)量沒有關(guān)系,窗口數(shù)量的提升不會改善信號特征值的分辨率,。

　　式（7）,、式（8）之間關(guān)系為：

　　式（9）按級數(shù)序列展開公式簡化后得到：

　　為了進(jìn)一步簡化，這里假設(shè)：

　　根據(jù)式（10）,，得到新算法特征值 λ1,、λ2和λi之間的關(guān)系：

　　根據(jù)式（8），得到傳統(tǒng)算法特征值之間關(guān)系：

　　比較式（11）,、式（12）,，低信噪比條件下，根據(jù)定義,，此時 得出結(jié)論：使用傳統(tǒng)自相關(guān)算法構(gòu)造的矩陣,，分解后得到的結(jié)果不能從噪聲特征值中有效地分辨出信號特征值。而采用MMS累計得到的相關(guān)矩陣,，分解后由于K為一個大的正整數(shù),，能有效增加λ1、λ2與其他特征值λi之間的差異,。

　　3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

　　考慮到計算量的問題,，在驗(yàn)證該算法的有效性時，文中使用自相關(guān),、互相關(guān)性非常好的Gold碼作為擴(kuò)頻序列,，碼長設(shè)為63，調(diào)制類型設(shè)為QPSK (Quaternary Phase Shift Keying),，信噪比設(shè)為SNR=-30 dB (按照如上定義,，ρ=0.001)，采用K×N=10 000個分析窗口,，對算法進(jìn)行驗(yàn)證,。

　　采樣周期Te=Tc=Ts/P，采樣窗口周期設(shè)為Ts,，為了方便計算,，信道內(nèi)沒有多徑干擾，失步系數(shù)設(shè)定為T0/Ts =0.4,，失步時間t0原則上未知,，但可通過式（10）得出。

　　按照上述參數(shù)設(shè)置，最終分解后的特征值：

　　missing image file

　　missing image file比例關(guān)系接近1:1:1,，如圖2所示,，信號特征值完全湮沒在噪聲特征值的波動之中。圖2與式（13）中的理論計算相吻合,，此時不能獨(dú)立分離出信號特征值,。

　　采用新算法MMS后，設(shè)定K=8, N=1 250,，同樣10 000個窗口條件下的仿真結(jié)果,，如圖3所示。表明missing image file之間比例關(guān)系：

　　采用新算法后,，可以明顯發(fā)現(xiàn)λ1,、λ2受K的影響，能明顯分辨出信號特征值λ1,、λ2與噪聲特征值λi之間的差異,。

　　同樣，在不改變總窗口數(shù)量10 000的條件下,，調(diào)整分段數(shù),，使K=20, N=500，信號特征值與噪聲特征值比例關(guān)系理論上應(yīng)為：

　　圖4證明了這一理論推導(dǎo),。同理,，比較圖3、圖4,，隨著K的增加,，信號特征值λ1、λ2與噪聲特征值λi的差異越來越明顯,。但總窗口數(shù)K×N一直為10 000,，數(shù)量并未增加。K的增加導(dǎo)致每段內(nèi)窗口數(shù)N的減??；樣本數(shù)N的減小導(dǎo)致噪聲對待分解矩陣R的影響增大。每個分段求出的相關(guān)矩陣差異較大,，所以累乘方法求出的信號特征值的均方差波動比傳統(tǒng)算法大。為了克服這一缺點(diǎn),，MMS算法適用于存在足夠多分析窗口(即樣本數(shù)足夠多)的情況下,，此時N和K都能取得一個較大的數(shù)值，N的增大可減小每個相關(guān)矩陣的均方差波動,，K的增大可提高信號特征值分辨率,。

　　將信號特征值λ1、λ2代表的特征矢量組合，可得到待估計的Gold碼,，組合方法不是本文討論重點(diǎn),，不再詳述，可參考文獻(xiàn)[8],。

4 結(jié)論

　　本文在近年來研究熱門子空間分解的基礎(chǔ)上,，提出了一種對帶有噪聲信號的相關(guān)矩陣構(gòu)造方法。這一方法重新設(shè)計了信號相關(guān)矩陣的構(gòu)造算法,，利用累乘計算,，將各個分段矩陣互乘，計算量與傳統(tǒng)構(gòu)造方法相似,。用擴(kuò)頻信號驗(yàn)證了該算法的理論推導(dǎo)與仿真,，仿真結(jié)果表明，該算法實(shí)際計算與理論推導(dǎo)一致,，可有效解決低信噪比條件下無法提取擴(kuò)頻用戶碼序列的問題,。同時，該算法也存在缺陷,，即該算法需要樣本數(shù)量足夠多,，并要保證N和K的取值都較大，這樣便可同時在低波動性和高分辨率兩項(xiàng)指標(biāo)上都取得較好的結(jié)果,。

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