1 引言
作為第四代新型節(jié)能光源的典型代表，LED 具有壽命長,、節(jié)能,、環(huán)保、顯色性好等其他光源無法比擬的優(yōu)點(diǎn),， 而且隨著大功率LED 的迅速發(fā)展，越來越廣泛的應(yīng)用于各種指示,、顯示,、背光源、普通照明和城市夜景等眾多領(lǐng)域,。但是LED 光源發(fā)出的光不均勻,，因此在對光照有嚴(yán)格要求的特殊場合的照明中，必須根據(jù)LED 本身的發(fā)光特性和預(yù)期的光強(qiáng)分布,，來設(shè)計(jì)一個(gè)二次配光結(jié)構(gòu),，將LED 的光強(qiáng)進(jìn)行重新分配。
配光結(jié)構(gòu)一般有反射面,、透鏡兩種,，目前LED的二次配光結(jié)構(gòu)大部分采用的是透鏡結(jié)構(gòu)?？紤]到透鏡有兩個(gè)透光面和一定的厚度,，對于任意一個(gè)曲面，若曲面設(shè)計(jì)或制作過程中稍有偏差,，或透鏡中夾有一點(diǎn)雜質(zhì),，對光線的折射和能量分布會產(chǎn)生很大的影響，且在實(shí)際應(yīng)用中透鏡對光線有較高的吸收率而造成能量損失,。而用反射面作為二次配光結(jié)構(gòu),，理論上只需要一個(gè)反射面即可,，容易加工且能量損失少，較好地解決了LED 均勻照明的問題,。本文旨在設(shè)計(jì)一種反射面來對LED 進(jìn)行二次配光,。
傳統(tǒng)的反射面配光結(jié)構(gòu)依賴于有解析解的二次曲面或二次曲面的組合。但對于發(fā)光不均勻的光源,，簡單的二次曲面或二次曲面的組合都不能實(shí)現(xiàn)特定的光強(qiáng)分布,。本文采用自由曲面設(shè)計(jì)的方法，根據(jù)光源的發(fā)光特性和預(yù)期的光強(qiáng)分布建立一個(gè)微分方程,，用數(shù)值求解法求解出這個(gè)方程,，根據(jù)求解結(jié)果擬合出自由反射曲面，再利用光學(xué)軟件對結(jié)果進(jìn)行模擬,。
2 反射面設(shè)計(jì)
本文中光源發(fā)出的光線一部分直接照射到照明面上,，另一部分經(jīng)設(shè)計(jì)的反射面反射到照明面上，最終在照明面上實(shí)現(xiàn)一個(gè)矩形的均勻照明區(qū)域,。利用光的反射定律得到出射光線與入射光線的矢量的關(guān)系,，再利用能量守恒和照度公式求出反射光線攜帶的能量，最后列出微分方程,，通過求解微分方程得出確定自由曲面的一系列點(diǎn),，最終確定所需的自由曲面。
如圖1 所示,，o′為光源所在的位置,，建立坐標(biāo)系x′o′y′。1 為照明面,，為了使計(jì)算更加方便,，設(shè)光源o′到照明面1 的距離為單位長度1，以o′為圓心,，作一個(gè)單位球,，則單位球與平面1 相切于o 點(diǎn)。平面2 為單位球的平行于平面1 的一個(gè)切平面,。在平面1 和平面2 內(nèi)分別作平行于x′,，y′的x，y 軸和u,，v 軸,。z′軸的原點(diǎn)在o′處。
任一條光線與單位球面相交于p 點(diǎn),，則op 為單位矢量,，記為i。連接o 與p 點(diǎn)并延長交平面2 于（ u，v,，1） 點(diǎn),，設(shè)p 點(diǎn)坐標(biāo)為（ x′，y′,，z′） ,，則i =（ x′，y′,，z′）,。
如圖所示，可知x′ / u = y′ / v = （ z′ + 1） /2,，且x′2 + y′2 + z′2 = 1,，可求得： i = （1 + ω2 /4） （ u，v,，1 － ω2 /4） ,，其中ω2= u2 + v2。
圖1 建立的坐標(biāo)系
2. 1 光的反射定律
如圖2 所示,，I 為LED 發(fā)出的光線,，入射到到反射面上的q 點(diǎn)，R 為反射光線,，反射到照明面上的t 點(diǎn),，T 為o′到t 的矢量，N 為反射面上q 點(diǎn)處的法線,。
圖2 照射到t 點(diǎn)的反射光線光路圖
根據(jù)非成像光學(xué)理論中的反射定律：
其中I = ρi,，可求出矢量T 的表達(dá)式T = T （ ρ，u,，v）。
由幾何關(guān)系可知反射面的法向向量為切平面內(nèi)兩個(gè)矢量的矢乘,，即N = Au × Av = （ ρi）u × （ ρi）v ,。
由i 矢量可求出：
將以上三式帶入反射定律，并定義p = ρu,，q =ρv,，可求得T = T （ u，v,，ρ,，p，q） ,，則反射光線反射到照明面上的點(diǎn)的坐標(biāo)為：
其中：
2. 2 能量守恒
LED 照明面垂直于z 軸朝下,，本文采用朗伯體LED 光源，發(fā)出的光一部分直接照到照明面上，另一部分被反射后照射到照明面上,，在照明面上產(chǎn)生一個(gè)長和寬分別為a 和b 的矩形均勻照明區(qū)域,。根據(jù)能量守恒，光源的輻射通量應(yīng)等于照明面上的輻射通量,。
光源輻射到照明面上的輻射通量為Φ1 =∫I0 cosΦdΩ1 + ∫μI0 cosΦdΩ2,，式中第一項(xiàng)為直接照射到照明面上的輻射通量，Ω1為該部分入射光線對應(yīng)的立體角,，第二項(xiàng)為經(jīng)過反射面反射到照明面上的輻射通量,，Ω2為該部分入射光線對應(yīng)的立體角，μ 為反射面的反射系數(shù),。照明面上接收到的輻射通量為Φ2 = ∫ EdS,，E 為照明面上的平均照度，根據(jù)能量守恒有Φ1 = Φ2,。由于反射面的反射率可以高達(dá)95%以上,，這里為了簡單起見，不考慮反射能量損失,，且郎伯型光源的發(fā)光角度為120 度,， 則
，有Φ1 = Φ2,，所以E = πI0 /4ab,。
照到t 點(diǎn)的光有兩束， 一束為圖示的T 光線,，另一束為圖示的I 光線的反射光線,，則有E = E1 +E2，其中E1為T 光束在t 點(diǎn)產(chǎn)生的照度,，E2為B光束產(chǎn)生的照度,。
如圖3 所示，設(shè)點(diǎn)光源的發(fā)光強(qiáng)度為I,，被照射面積元dS′對它所張的立體角為dΩ,，則照射在dS′上的光通量為dΦ′ = IdΩ = IdS′cosθ′，從而照度為E
由此可求出直接照射在照明面上的光束T 在t點(diǎn)的照度為：
圖3 光源的照度
可求出反射到照明面上的光束R 的照度為：
2. 3 偏微分方程
該反射過程中,，入射光I 的強(qiáng)度I 與反射光R照到t 點(diǎn)的照度E2滿足偏微分方程：
其中：
x 和y 由2. 1 中的結(jié)果給出,。入射到反射面上的光線I 的強(qiáng)度：
E2由2. 2 中的結(jié)果給出。將以上結(jié)果帶入偏微分方程,，列出偏微分方程的具體形式,。
偏微分方程的邊界條件由朗伯型光源的發(fā)光特性和矩形均勻照明區(qū)域決定。首先設(shè)置反射面的下邊緣也為一個(gè)長寬比例為a∶ b 的矩形,，讓直接照射到照明面上的光為一個(gè)矩形光斑,。而朗伯型LED 光源的發(fā)光角度為120°，因此反射面的上邊緣在一個(gè)頂角為120°的圓錐面上。用數(shù)值求解法將上式進(jìn)行離散化,，計(jì)算偏微分方程,。設(shè)置反射面的下邊緣初始點(diǎn)坐標(biāo)作為初始點(diǎn)條件，結(jié)合邊界條件,，帶入計(jì)算機(jī)程序迭代計(jì)算方程,，求出反射面上一系列的點(diǎn)的坐標(biāo)。
3 模擬與仿真
將求解出的反射面的一系列點(diǎn)輸入建模軟件ProE 中,，擬合成一個(gè)實(shí)體反射面,，如圖4 所示。再將該反射面導(dǎo)入光學(xué)仿真軟件Tracepro 中,，模擬驗(yàn)證最終的效果,，得到照明面上的照度分布圖，如圖5 所示,。在中間照明區(qū)域,，光照的均勻度可達(dá)85% 以上，能實(shí)現(xiàn)比較理想的照明效果,。因?yàn)樵诮＿^程中,，是先輸入點(diǎn)，形成樣條曲線,，再由樣條曲線形成最終的反射面,，這個(gè)過程中采用了平滑的算法，引入了誤差,，使最后結(jié)果有點(diǎn)失真,，但失真程度不大。
圖4 反射面結(jié)構(gòu)圖
圖5 照度分布圖
4 結(jié)論
本文通過對微分方程的數(shù)值求解求出自由反射曲面的面型,，依據(jù)不同的光源和照明需求得到不同的邊界條件和具體的方程,，可自由設(shè)計(jì)反射曲面。
反射面型的配光結(jié)構(gòu)可避免透鏡的加工成本高及對能量吸收率高等缺點(diǎn),。