摘 要： 傳統(tǒng)衛(wèi)星導(dǎo)航定位中廣泛采用四面體體積最大法來(lái)選擇星座,，該方法以犧牲定位精度提高星座選擇速度,。本文提出了基于雅可比法計(jì)算幾何精度因子，以幾何精度因子最小為依據(jù)選擇星座的新算法,。仿真結(jié)果表明,，新算法既能滿足實(shí)時(shí)性的定位要求，又可以不犧牲精度,。
　　關(guān)鍵詞： 幾何精度因子,；快速星座選擇；四面體體積最大法；雅可比法

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　　衛(wèi)星導(dǎo)航定位技術(shù)在現(xiàn)代測(cè)繪,、航天和國(guó)防等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用,。國(guó)際上，很多國(guó)家都在建設(shè)自己的導(dǎo)航定位系統(tǒng),，如美國(guó)的GPS,、俄羅斯的GLONASS、英國(guó)的Nexstar,、歐盟的GNSS-1和GNSS-2等^[1-2],。國(guó)內(nèi)現(xiàn)已建立了北斗一代導(dǎo)航定位系統(tǒng)，目前正在建設(shè)北斗二代導(dǎo)航定位系統(tǒng),。隨著導(dǎo)航定位的廣泛應(yīng)用,，人們對(duì)導(dǎo)航定位的精度要求也越來(lái)越高。
?導(dǎo)航定位的精度主要與兩個(gè)因素有關(guān)^[3]：(1)接收機(jī)的精度,，即測(cè)距誤差,；(2)相對(duì)接收機(jī)而言，衛(wèi)星的幾何構(gòu)形,。由衛(wèi)星幾何位置決定的對(duì)用戶測(cè)距誤差的放大程度,，稱之為幾何精度因子，簡(jiǎn)稱GDOP(Geometric Dilution of Precision)^[2],，合理地選擇導(dǎo)航衛(wèi)星組合使其GDOP最小,，定位誤差也就會(huì)降到最小。目前廣泛使用的星座選擇算法是四面體體積最大法^[4],，該算法不直接計(jì)算GDOP,，而只計(jì)算四顆衛(wèi)星構(gòu)成的四面體體積，從而避免了矩陣求逆的復(fù)雜運(yùn)算,，減小了處理器的負(fù)荷,，提高了處理速度。雖然滿足星座選擇的實(shí)時(shí)性要求,，但犧牲了定位精度,。
　　當(dāng)前，處理器已取得了很大發(fā)展,，處理能力極大提高,，處理器對(duì)算法的限制有一定放寬，人們對(duì)定位精度有了更高的要求,，所以對(duì)定位精度的改善成為當(dāng)前星座選擇算法首要指標(biāo),。本文提出了用雅可比法計(jì)算GDOP，然后根據(jù)GDOP實(shí)現(xiàn)星座選擇的新算法,，并比較了新算法與傳統(tǒng)的四面體體積最大法在定位精度和處理速度兩個(gè)方面的性能指標(biāo),。通過(guò)仿真表明,，新算法既能滿足實(shí)時(shí)性定位要求，又不犧牲精度,。
1 GDOP計(jì)算公式
　　GDOP的定義式為：
　　
　　其中,，H是觀測(cè)矩陣。衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)至少要有四顆衛(wèi)星來(lái)進(jìn)行定位計(jì)算,典型情況采用四星定位,此時(shí)GDOP還可表示為^[5]：
　　
2 傳統(tǒng)星座選擇算法
　　按照式(1)計(jì)算GDOP,，并根據(jù)GDOP最小的原則選擇星座需要每次進(jìn)行矩陣的轉(zhuǎn)置,、相乘及求逆運(yùn)算。上世紀(jì)70年代,，由于當(dāng)時(shí)硬件平臺(tái)處理速度的限制，需要算法的運(yùn)算量小,，工程應(yīng)用上采用了被稱之為四面體體積最大法的星座選擇算法,。四面體體積最大法以式(2)為依據(jù)簡(jiǎn)化計(jì)算。由式(2)可知,，四面體體積與GDOP成反比,，隨著V的增加，A的變化一般不大,。為此,，工程實(shí)現(xiàn)上用計(jì)算四面體體積V的方法代替直接計(jì)算GDOP，并以此作為星座選擇的依據(jù),。
　　由上述分析可以看出,，最大四面體體積法實(shí)際上是以犧牲定位精度為代價(jià)來(lái)?yè)Q取星座選擇速度，這種做法在硬件處理器難以滿足的情況下,，也不失為一種比較好的實(shí)現(xiàn)方法,。但隨著處理器的發(fā)展以及人們對(duì)精度要求的提高，需要一種能夠?qū)崟r(shí)完成的精度更高的算法,。
3 新的星座選擇算法
　　

　　式（4）將矩陣求逆的復(fù)雜運(yùn)算換為求對(duì)稱實(shí)矩陣的特征值,。這樣，就可以用對(duì)稱實(shí)矩陣求特征值的雅可比快速算法,。
　　雅可比法求對(duì)稱矩陣特征值的基本思想就是通過(guò)平面旋轉(zhuǎn)變換矩陣對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣A進(jìn)行正交變化,，使A的非對(duì)角線元素趨于0，這樣A的對(duì)角線的元素趨于A的特征值,。
　　用雅可比法求實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值步驟如下：
　　(1)令S=I_n,，（I_n為單位矩陣）。
　　(2)在A中選取非對(duì)角線元素中絕對(duì)值最大者,，設(shè)為αpa,。
　　(3)若|αpa|<ε，則迭代過(guò)程結(jié)束,，此時(shí)對(duì)角線元素αpa(i=0,，1，…n-1)為A的特征值λi。否則,，繼續(xù)下一步,。
　　(4)計(jì)算平面旋轉(zhuǎn)矩陣的元素及其變換后的矩陣A1的元素。
?　 (5)S=S·R(p,，q,，θ)，轉(zhuǎn)(2）,。
4 算法性能對(duì)比分析
　　在n階對(duì)稱矩陣中共有(n²-n)/2個(gè)非主對(duì)角元素要被消去,，而每消去一個(gè)非主對(duì)角元素需要2n個(gè)元素進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，對(duì)一個(gè)元素進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換需要2次乘法和1次加法,。因此,，一輪計(jì)算的時(shí)間復(fù)雜度為2n²(n-1)次乘法和n²(n-1)次加法。大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)仿真說(shuō)明,，對(duì)于4階對(duì)稱矩陣采用過(guò)關(guān)雅可比算法,，不超過(guò)22輪就可以收斂。圖1為采用過(guò)關(guān)雅可比算法的4階方陣的收斂輪數(shù)圖,。

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