2? 定點小數(shù)表達(dá)方式
??? 為了精確構(gòu)造數(shù)字濾波器，經(jīng)常要用到浮點數(shù)據(jù)和系數(shù),。在進(jìn)行浮點數(shù)乘法運算時,，針對AVR單片機設(shè)計的C編譯器例如AVR-GCC，需要加入額外的數(shù)學(xué)庫函數(shù)進(jìn)行編譯,。而這會使編譯后程序的代碼量增加,、處理時間加長、處理器的開銷也隨之增加,。為了更大限度地降低系統(tǒng)開銷,，提高程序效率，采用定點小數(shù)表示形式進(jìn)行乘法運算是最佳選擇,。
??? AVR單片機是一種8位精簡指令集（RISC）單片機,。其中megaAVR系列內(nèi)部都帶有一個硬件乘法器,，計算一次8位乘8位的定點乘法只需2個時鐘周期。因此采用8位定點采樣數(shù)據(jù)乘以8位系數(shù)的定點乘法方式完成濾波算法是最高效的,。
??? 低通濾波處理涉及的運算形式為一個純小數(shù)系數(shù)和一個已知數(shù)據(jù)相乘再相加,。因此將系數(shù)采用定點小數(shù)的表示形式，對于提高算法速度是至關(guān)重要的,。
??? 可以定義一種8位定點小數(shù)表示形式——Q8數(shù),，其各位權(quán)系數(shù)如下：

??? Q8數(shù)的表示范圍從0到1-2^-8=0.99609375，每兩個數(shù)之間的間隔是2^-8（0.00390625）,，其所能表達(dá)的純小數(shù)共有2⁸=256個,。例如11011000就表示2^-1+2^-2+2^-4+2^-5=0.84375，而11011001就是表示2^-1+2^-2+2^-4+2^-5+2^-8=0.84765625,，因此0.84375和0.84765625之間的純小數(shù)只能用這兩個數(shù)中的一個近似表示了,。這對于乘法計算的精度有一定的影響,，但是由于濾波公式（3）中的系數(shù)a和（1-a）都是常數(shù),，在整體性能穩(wěn)定的情況下，系數(shù)微小的不確定性對濾波器整體性能并沒有太大的影響,。
3 分配系數(shù)法原理
??? 從（3）式可知,，濾波算法可以用迭代計算實現(xiàn)，為保證每個新的輸出值都可以作為下次計算的輸入值,，必須使輸出值和輸入值的位寬度一致,。AVR單片機內(nèi)部硬件乘法器的輸出結(jié)果為16位，兩次乘法運算的結(jié)果還要進(jìn)行加法運算,，其結(jié)果很有可能超過16位寬度,。如果要進(jìn)行迭代計算，就要將乘加運算的結(jié)果轉(zhuǎn)化成8位表示方式,。一種解決方法是用查表法實現(xiàn)乘法計算,，這樣運算結(jié)果就直接表達(dá)成8位定點數(shù)形式，不用進(jìn)行表示方式的轉(zhuǎn)化,，但是這種方案要占用額外的硬件存儲空間構(gòu)造一張查找表,。
??? 可以從逆向進(jìn)行思考：由（3）式可知，每個新的輸出值y(k)都與上一次的輸出值y(k-1)和新的輸入值x(k)有關(guān),。y(k-1)和x(k)都是8位的,，因此最大值為0xFF。為了使a×y(k-1)+(1-a)×x(k)不超過0xFFFF,，兩個系數(shù)a和（1-a）的和不能超過0xFFFF/0xFF=0x101,。實際上，a+(1-a)等于“1”,，因此這里的0x101就可以看作“1”,。如果取a=0.9,，那么對應(yīng)地將0x101平均分成10份，取其中的9份,，即0x101×0.9近似等于0xE7,， 相應(yīng)地0.1就等于0x101-0xE7=0x1A。這里的0xE7可以近似被認(rèn)為是0.9的一種定點Q8數(shù)表示形式,，而0.1的定點Q8數(shù)表示形式就是0x1A,。由于濾波器系數(shù)a和(1-a)采用了Q8數(shù)的表示形式，這種將16位乘加運算結(jié)果轉(zhuǎn)化為8位定點數(shù)表示形式的工作就變得簡單了,，只需通過移位運算,，取y(k)的高8位即可，對應(yīng)的C語言代碼為：
??? y(k)=(char)(y(k)>>8)
??? 在C語言編程處理中,，并不需要建立一個數(shù)組來儲存y(k)的值,，而只需定義兩個unsigned char型的變量分別儲存y(k-1)和x(k)。當(dāng)乘加計算a×y(k-1)+(1-a)×x(k)完成后,，將結(jié)果轉(zhuǎn)化成8位定點數(shù)形式,，再將其賦值給y(k-1)所對應(yīng)的變量即可。因此采用迭代方式進(jìn)行乘加運算后,，整個運算過程只需要兩個變量和兩個常數(shù)參加即可,。
??? 通過這種處理，y(k)就可以作為計算下一次輸出值y(k+1)的一個已知量,，并繼續(xù)與Q8數(shù)形式的濾波器系數(shù)相乘,，得到新的輸出值。這種處理方式簡化了乘加運算的完成過程,，節(jié)省了系統(tǒng)硬件資源,，并降低了處理器開銷。
4 采樣時間的控制
??? 采用單片機進(jìn)行數(shù)字信號處理,，一種有效而準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)采集方式就是通過計數(shù)器中斷服務(wù)程序" title="中斷服務(wù)程序">中斷服務(wù)程序(ISR)控制AD對輸入信號進(jìn)行精確采樣,。但是（圖2）中斷服務(wù)程序(ISR)的開銷影響了AD采樣時間間隔的精確度，同時如果中斷服務(wù)程序(ISR)的開銷過大,，必然導(dǎo)致AD的最高采樣頻率的降低,。因此，要想獲得精確的采樣頻率,，就必須在盡量減少中斷服務(wù)程序開銷的前提下,，適當(dāng)調(diào)整計數(shù)器中斷的時間間隔。這可以通過調(diào)整OCR0的預(yù)置數(shù)來完成,。

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5 算法流程圖
??? 濾波算法是通過中斷服務(wù)程序（ISR）來完成的,，整個應(yīng)用程序的主函數(shù)main()主要負(fù)責(zé)初始化計數(shù)器中斷，并處理其它應(yīng)用。整個程序的流程圖如圖3所示,。

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??? 本算法的C語言代碼（附錄A）經(jīng)過AVR-GCC編譯器的編譯后,，“.text”段只有310個字節(jié)，大大節(jié)省了單片機的flash空間,。
6? 基于VMLAB的濾波系統(tǒng)仿真實現(xiàn)
??? VMLAB的全稱為：Visual Micro Lab,。它針對AVR系列單片機和ST62系列單片機設(shè)計，是一個單片機的虛擬原型框架,，可以提供給用戶一個真正意義上的虛擬微控制器（MCU）設(shè)計實驗室,。它具有強大的多窗口、多文件的編輯器,，微控制器的集成開發(fā)環(huán)境,，擁有一系列的集成開發(fā)工具，圖形界面的調(diào)試器,，混合模式的模擬-數(shù)字電路仿真器,，代碼質(zhì)量檢查器等?；贛CU,，它可以仿真出包括模擬元器件在內(nèi)的更多外圍設(shè)備，并具有交互式器件模擬仿真功能,。
??? 假設(shè)有用信號是2V大小的直流信號,，工頻干擾是峰峰值為1V,，頻率為50Hz的正弦波,，建立單片機AD的輸入信號表示形式如下：
??? 2+0.5 sin(2π×50×t）
??? VMLAB通過工程文件來管理和控制各種仿真信息、硬件連接以及顯示I/O電壓波形等,。根據(jù)本算法的特點,，采用Atmega16作為目標(biāo)單片機，時鐘選為8MHz,，建立工程文件,。恰當(dāng)設(shè)置OCR0寄存器，使計數(shù)器比較匹配中斷的時間間隔約為2ms,，這樣AD的采樣頻率F_s近似認(rèn)為等于500Hz,。經(jīng)過仿真，對比結(jié)果如表3,。

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??? 從表3可以看出：隨著a的增大,，算法收斂的時間變長，同時50Hz對應(yīng)的衰減幅度增加,，衰減的幅度值和理論推導(dǎo)基本一致,。另外，當(dāng)a=0.95時，DA輸出的均值變小,。這主要是進(jìn)行循環(huán)迭代運算時,，需要將16位的變量轉(zhuǎn)化為8位表示形式所導(dǎo)致的。在有用信號失真較小的情況下,，為使濾波器達(dá)到降低工頻干擾的最佳效果,，必須恰當(dāng)選擇a值。經(jīng)過以上的仿真試驗可以發(fā)現(xiàn),，當(dāng)a=0.9時,，衰減幅度、DA輸出均值和算法收斂時間表現(xiàn)比較均衡,，可以作為一般情況下的選擇值,。
??? 將VMLAB中虛擬示波器的顯示數(shù)據(jù)導(dǎo)出到一個*.cvs文件中，用matlab讀出這些數(shù)據(jù),，并畫出不同a值對應(yīng)的輸出響應(yīng),，如圖4。從圖4可以清晰看出不同a值下算法的性能變化的大致走向,。

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??? 將AD的采樣間隔設(shè)置為4ms,，對應(yīng)的采樣頻率F_s就變?yōu)?50Hz，其它條件不變,。通過VMLAB進(jìn)行仿真,，對比結(jié)果如表4、圖5,。

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