上一章我們簡單的介紹了布爾代數(shù)以及C語言的位運算，本次我們主要來看，二進制如何表示整數(shù)，這是很重要的一章，希望各位猿友莫要錯過。

C語言中的整數(shù)類型及范圍

我們依然以C語言為例，C語言當中提供了多種整數(shù)類型，一共十種，位數(shù)為1、2、4、8，其中32位機器上，4位的有兩種，在64位機器上，8位的有兩種。不過C語言有它的最小數(shù)值范圍，也就是說C語言要求這些數(shù)據(jù)類型至少要滿足一個標準的范圍。下圖是C語言對整數(shù)類型要求的最小表示范圍。

仔細看的話，可以發(fā)現(xiàn)，C語言只要求有符號數(shù)的范圍是對稱的，另外就是int和long類型的位數(shù)要求都比較低，分別是2位和4位。

可以看到以上的表中，每一種整數(shù)類型都可以加unsigned關(guān)鍵字，來表示一個無符號數(shù)，即沒有正負之分。在書中，給出了無符號數(shù)的定義，LZ將它簡化一下，對于一個w位的二進制來說，它的無符號表示為以下形式。

對于一個無符號編碼來說，它的最大值和最小值很好確定，對于一個w位的二進制序列來說，當所有位都為0時，則為最小值，即

                               UMinw = 0

而當所有位都為1時，則為最大值，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，即

                               UMaxw = 1 * (1-2w) / 1 - 2 = 2w - 1

如果把上述的定義看成是一個函數(shù)的話，那么這個函數(shù)就是一個雙射。也就是說，對于任意整數(shù)x，當0 =< x < 2w的時候，存在唯一的二進制序列與其對應(yīng)。反過來也是一樣的，對于任意一個w位的二進制序列，都存在唯一一個整數(shù)x滿足0 =< x < 2w，與這個二進制序列對應(yīng)。

無符號編碼屬于相對較簡單的格式，因為它符合我們的慣性思維，上述定義其實就是對二進制轉(zhuǎn)化為十進制的公式而已，只不過在一向嚴格的數(shù)學領(lǐng)域來說，是要給予明確的含義的。

補碼編碼

無符號編碼符合人的慣性思維是沒錯，但是可惜的是，它無法表示負整數(shù)。因此我們需要一種能夠表示負數(shù)的整數(shù)表示方式，這就是補碼編碼。與無符號編碼一樣，書中依然給出了補碼編碼的定義，即對于任意一個w位的二進制來說，它的補碼表示為以下形式。

這里最高位xw-1為符號位，當它為1時，該公式得到的值為負數(shù)，當為0時，得到的則為正數(shù)。

我們觀察這個公式，不難看出，補碼格式下，對于一個w位的二進制序列來說，當最高位為1，其余位全為0時，得到的就是補碼格式的最小值，即

                            TMinw = -2w-1

而當最高位為0，其余位全為1時，得到的就是補碼格式的最大值，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，即

                            TMaxw = 1 * (1 - 2w-1) / 1 - 2 = 2w-1-1

與無符號編碼一樣，如果把上述的定義看成是一個函數(shù)的話，那么這個函數(shù)同樣是一個雙射。也就是說，對于任意整數(shù)x，當-2w-1 =< x < 2w-1的時候，存在唯一的二進制序列與其對應(yīng)。反過來，對于任意一個w位的二進制序列，都存在唯一一個整數(shù)x滿足-2w-1 =< x < 2w-1，與這個二進制序列對應(yīng)。

相對于無符號編碼來說，補碼編碼與我們的慣性思維有些不同，因此直觀的理解起來會有些別扭，不過作為一個程序猿，我們應(yīng)該有一顆半機器的腦子，盡量去適應(yīng)機器的習慣。

兩種編碼的轉(zhuǎn)換

在C語言當中，我們經(jīng)常會使用強制類型轉(zhuǎn)換，而在之前的章節(jié)中，LZ也提到過強制類型轉(zhuǎn)換。強制類型轉(zhuǎn)換不會改變二進制序列，但是會改變數(shù)據(jù)類型的大小以及解釋方式，那么考慮相同整數(shù)類型的無符號編碼和補碼編碼，數(shù)據(jù)類型的大小是沒有任何變化的，變化的就是它們的解釋方式。比如1000這個二進制序列，如果用無符號編碼解釋的話就是表示8，而若采用補碼編碼解釋的話，則是表示-8。

考慮到上面我們已經(jīng)說過，無論是無符號編碼還是補碼編碼，其映射方式都是雙射，因此它們都一定存在逆映射。如果我們定義U2Bw(x)為B2Uw(x)的逆映射，則對于任意一個整數(shù)x，如果0 =< x < 2w，經(jīng)過U2Bw(x)的計算之后，將得到唯一一個二進制序列。同樣的，如果我們定義T2Bw(x)為B2Tw(x)的逆映射，則對于任意一個整數(shù)x，如果-2w-1 =< x < 2w-1，經(jīng)過T2Bw(x)的計算之后，也將得到唯一一個二進制序列。

可以很明顯的看出，對于0到2w-1-1這個區(qū)間內(nèi)的整數(shù)來說，兩種編碼得到的二進制序列是一樣的。為了得到其它區(qū)間里的整數(shù)的映射關(guān)系，我們定義

                     T2Uw(x) = B2Uw(T2Bw(x))

這個函數(shù)代表的含義是補碼編碼轉(zhuǎn)換為無符號編碼的時候，先將補碼編碼轉(zhuǎn)換為二進制序列，再將二進制序列轉(zhuǎn)換為無符號編碼，最終也就是補碼編碼轉(zhuǎn)為無符號編碼的計算。

下面我們簡單的推算一下上面的定義，究竟是如何轉(zhuǎn)換的，也就是無符號編碼與補碼編碼的關(guān)系。我們將上面無符號編碼和補碼編碼的公式相減，

即                              B2Uw(x) - B2Tw(x) = xw-12w-1 - (-xw-12w-1) = xw-12w

即                                           B2Uw(x) = xw-12w + B2Tw(x)

此處我們令x為T2Bw(x)，則          B2Uw(T2Bw(x)) = xw-12w + B2Tw(T2Bw(x)) = xw-12w + x

即                                            T2Uw(x) = xw-12w + x

此時考慮xw-1的情況，當xw-1為1時，也就是補碼編碼表示負數(shù)的時候，T2Uw(x)則為2w + x 。（LZ小提示：此時x為負數(shù)，也就是說2w + x < 2w）

若xw-1為0時，則補碼編碼為正數(shù)，此時T2Uw(x) = x 。

綜上可知，有下列式子成立

從這個式子中可以很明顯的看出，最終得到的無符號數(shù)范圍為0 =< x < 2w。

相反，我們用同樣的方式也可以證明從無符號編碼到補碼編碼的公式，這一部分書中省略了，LZ這里還是寫上來，以免有的猿友不知所云。我們依然將無符號編碼和補碼編碼的公式相減

即                              B2Uw(u) - B2Tw(u) = uw-12w-1 - (-uw-12w-1) = uw-12w

即                                           B2Tw(u) = B2Uw(u) - uw-12w

此時我們令u為U2Bw(u)，則    B2Tw(U2Bw(u)) = B2Uw(U2Bw(u)) - uw-12w = u - uw-12w

即                                           U2Tw(u) = u - uw-12w

此時考慮uw-1的情況，當uw-1為0時，也就是無符號編碼數(shù)值小于2w-1的時候，U2Tw(u)則為u 。

若uw-1為1時，也就是無符號編碼數(shù)值大于或等于2w-1的時候，此時U2Tw(u)= u - 2w。（LZ小提示：此時U2Tw(u)為負數(shù)，因為 u < 2w）

綜上，我們可以得到無符號編碼轉(zhuǎn)換為補碼編碼的公式

同樣的，在0至2w-1-1之間，兩者依然是相等的，而其余區(qū)間則不同。