0 引言

　　由于人為調(diào)制等原因,，大多數(shù)雷達(dá)和通信信號都體現(xiàn)出一種特殊的周期性,，即循環(huán)平穩(wěn)特性，不同調(diào)制樣式的信號具有不同的循環(huán)平穩(wěn)特性[1],，因此,，基于信號循環(huán)平穩(wěn)特性的參數(shù)估計方法在信號的選擇性和噪聲抑制方面具有顯著優(yōu)勢[2]。

　　陣列信號處理是信號循環(huán)平穩(wěn)特性成功應(yīng)用的一個典型例子[2],。GARDNER W A首先把信號的循環(huán)平穩(wěn)特性引入到陣列測向方法中,，提出了相應(yīng)的Cyclic MUSIC（簡記為C-MUSIC）方法[3]。文獻(xiàn)[4,，5]分析了C-MUSIC方法對高斯和非高斯窄帶循環(huán)平穩(wěn)信號測向的性能,，但該分析都是基于理想陣列結(jié)構(gòu)進(jìn)行的。隨后,，CHARGE P等通過綜合考慮入射信號的循環(huán)相關(guān)函數(shù)和共軛循環(huán)相關(guān)函數(shù),，對已有的C-MUSIC方法進(jìn)行了擴(kuò)展，提出了Extended Cyclic MUSIC（簡記為EC-MUSIC）方法[6],。與C-MUSIC方法相比,，EC-MUSIC方法更有效地利用了入射信號的信息，因此具有更優(yōu)的測向性能,。當(dāng)入射信號帶寬較為顯著時,，YAN H對C-MUSIC方法進(jìn)行了修正，提出了Improved Cyclic MUSIC方法[7],，極大地減小了實(shí)際信號的非零帶寬在C-MUSIC方法中所帶來的測向偏差,。該修正思想同樣可用于EC-MUSIC方法中，借以減小對非零帶寬近似窄帶信號的測向偏差[7],。

　　在實(shí)際系統(tǒng)中,，接收陣列可能存在各種模型誤差，如陣列互耦,、通道不一致性等,。當(dāng)此類誤差存在時，C-MUSIC方法和EC-MUSIC方法可能產(chǎn)生測向偏差,。本文以常規(guī)陣列中很難消除的陣列互耦效應(yīng)為對象,，通過建立互耦條件下Cyclic MUSIC方法和EC-MUSIC方法的偽數(shù)據(jù)模型，考查這兩種方法的測向性能受互耦效應(yīng)的影響情況,，給出了均勻線陣和一般線陣中測向偏差的解析表達(dá)式,，并通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了信號入射方向和陣元間距變化時該理論偏差的準(zhǔn)確性,。

1 互耦條件下窄帶循環(huán)平穩(wěn)信號測向方法的偽數(shù)據(jù)模型

　　假設(shè)K個循環(huán)頻率為的窄帶信號從不同方向=同時入射到M元均勻線陣上，則陣列接收數(shù)據(jù)模型為：

　　其中x(t)=[x1(t),，x2(t),，…，xM(t)]T為陣列在t時刻的接收數(shù)據(jù)構(gòu)成的向量,，s(t)=[s1(t),，s2(t)，…,，sK(t)]T為各入射信號在t時刻的波形,，A(f，)=為第k個信號在相鄰陣元間的傳播時延）為K個信號的導(dǎo)向矢量,，為表述方便,，以下的討論中簡記并特別標(biāo)記為陣列加性噪聲。另外,，記信號sk(t)的幅度包絡(luò)為gk(t),，即sk(t)=。

　　互耦條件下陣列觀測數(shù)據(jù)為[8]：

　　其中分別為互耦條件下和理想情況下t時刻陣列的接收數(shù)據(jù),，C為陣列互耦矩陣,。在以下的敘述中，如無特別說明,，均表示變量在互耦條件下的取值,。

　　第p個陣元t時刻的接收數(shù)據(jù)為：

　　其中cpu為C的第(p，u)個元素,。

　　1.1 互耦條件下C-MUSIC方法的偽數(shù)據(jù)模型

　　互耦條件下第p個陣元和第q個陣元接收數(shù)據(jù)的循環(huán)互相關(guān)函數(shù)為：

　　其中為共軛運(yùn)算符,，為共軛轉(zhuǎn)置運(yùn)算符，且：

　　進(jìn)一步地,，其中,，

　　結(jié)合文獻(xiàn)[3]給出的無互耦偽數(shù)據(jù)矩陣，得到互耦條件下考慮窄帶信號非零帶寬時的陣列偽數(shù)據(jù)矩陣為：

　　其中

　　1.2 互耦條件下EC-MUSIC方法的偽數(shù)據(jù)模型

　　經(jīng)過類似的推導(dǎo),，得到互耦條件下第p個陣元和第q個陣元接收數(shù)據(jù)的共軛循環(huán)互相關(guān)函數(shù)為：

　　因此,，其中為轉(zhuǎn)置運(yùn)算符。

　　進(jìn)而得到互耦條件下EC-MUSIC方法的陣列偽數(shù)據(jù)矩陣為：

　　其中,， 

　　結(jié)合文獻(xiàn)[6]給出的理想情況下EC-MUSIC方法的偽數(shù)據(jù)矩陣,，得到互耦條件下考慮窄帶信號非零帶寬時的陣列偽數(shù)據(jù)矩陣為：

2 互耦條件下C-MUSIC方法的測向誤差分析

　　對進(jìn)行特征值分解，得到互耦條件下C-MUSIC方法的信號子空間和噪聲子空間：

　　結(jié)合式(6),、式(10)不難看出，信號子空間與真實(shí)信號方向矩陣之間存在如下關(guān)系：

　　其中分別表示由矩陣的各列所張成的子空間,。

　　如果互耦條件下,，空間多個目標(biāo)仍然可以分辨,，則由空間譜函數(shù)：

　　估計得到的信號波達(dá)方向所構(gòu)成的陣列導(dǎo)向矢量與真實(shí)導(dǎo)向矢量間滿足如下關(guān)系：

　　a

　　其中為幅度調(diào)整系數(shù)。

　　記和為相應(yīng)的互耦條件下對應(yīng)的變量,。由互耦條件下陣列接收數(shù)據(jù)的循環(huán)互相關(guān)協(xié)方差矩陣的特征值分解得到的估計值之后,，可用如下罰函數(shù)確定

　　參考文獻(xiàn)[9]中的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，可以由以上罰函數(shù)得到互耦條件下對第k個信號角度的估計誤差為：

　　其中為電磁波傳播速度,，1為全1列向量,，其維數(shù)由上下文確定，分別為復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部,，⊙表示矩陣或向量點(diǎn)乘運(yùn)算符,。

3 互耦條件下EC-MUSIC方法的測向誤差分析

　　對進(jìn)行特征值分解，得到互耦條件下EC-MUSIC方法中偽數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的信號子空間和噪聲子空間：

　　互耦條件下波達(dá)方向的估計結(jié)果由如下空間譜估計函數(shù)得到[6]：

　　其中,，表示取L2范數(shù),，

　　為了消除加權(quán)向量h的影響，將上述空間譜函數(shù)轉(zhuǎn)化為：

　　由于為二階單位矩陣乘以系數(shù),，因此當(dāng)h等于矩陣的最小特征值對應(yīng)的特征向量時,，取最小值，且該最小值等于矩陣的最小特征值,。定義該矩陣為E,，則：

　　由于因此：

　　其中

　　經(jīng)過類似參考文獻(xiàn)[6]附錄中的推導(dǎo)過程可以得到結(jié)論：進(jìn)而有：

　　因此，該矩陣的最小特征值為：

　　最終的空間譜函數(shù)為：

　　通過搜索的峰值可以得到信號波達(dá)方向的估計值由于：

　　因此

　　同時,，觀察的特征分解式(16)不難看出：

　　故

　　所以,，當(dāng)有：

　　進(jìn)而即空間譜函數(shù)的峰值出現(xiàn)在滿足式處，即：

　　其中為幅度調(diào)整系數(shù),。

　　由陣列接收數(shù)據(jù)的循環(huán)互相關(guān)協(xié)方差矩陣的特征值分解得到的估計值之后,，可用如下罰函數(shù)確定：

　　經(jīng)過一系列的數(shù)學(xué)推導(dǎo)[9]，可以由以上罰函數(shù)得到互耦條件下對第k個窄帶循環(huán)平穩(wěn)信號的入射角度的估計誤差為：

4 仿真

　　為了驗(yàn)證以上理論分析結(jié)果的正確性,，在以下的實(shí)驗(yàn)中均假設(shè)一個遠(yuǎn)場BPSK信號入射到均勻線性陣列上,，并假設(shè)窄帶接收陣列由多個細(xì)線偶極子天線沿x軸排列而成。信號帶寬與載波頻率之比為0.02,，可近似看作窄帶信號,，但為了減小非零帶寬給窄帶循環(huán)平穩(wěn)信號測向模型所帶來的誤差，測向方法選擇Improved Cyclic MUSIC及其擴(kuò)展形式,。陣列的阻抗由開環(huán)計算方法得到[10],，細(xì)線偶極子天線之間的阻抗參考文獻(xiàn)[11]進(jìn)行計算。

　　(1)實(shí)驗(yàn)1：假設(shè)一個相對帶寬為2%的BPSK信號入射到8元均勻線陣上,，相鄰陣元間距等于半波長,，仿真得到C-MUSIC方法、EC-MUSIC方法的角度估計偏差和由式(15),、式(29)給出的均勻線陣的理論偏差的對比情況如圖1所示,。

圖1  互耦條件下均勻線陣的測向偏差隨信號入射方向的變化情況

　　(2)實(shí)驗(yàn)2：在實(shí)驗(yàn)1的基礎(chǔ)上保持信號入射方向?yàn)?0°,，相鄰陣元間距從0.1倍波長到半波長之間變化，仿真得到C-MUSIC方法,、EC-MUSIC方法的角度估計偏差和由式(15),、式(29)給出的均勻線陣的理論偏差的對比情況如圖2所示。

圖2  互耦條件下均勻線陣的測向偏差隨相鄰陣元間距的變化情況

　　上述仿真結(jié)果表明,，在陣列互耦效應(yīng)存在的情況下,，本文所得到的窄帶循環(huán)平穩(wěn)信號陣列測向方法及其共軛擴(kuò)展方法的測向偏差的理論結(jié)果都具有較高的準(zhǔn)確度，很好地反映了兩種方法的測向誤差隨信號入射方向和陣列結(jié)構(gòu)的變化情況,。

5 結(jié)束語

　　本文通過分析互耦條件下窄帶循環(huán)平穩(wěn)信號測向方法C-MUSIC以及EC-MUSIC的偽數(shù)據(jù)矩陣模型,，借助數(shù)學(xué)分析得到了這兩種方法的測向偏差受互耦效應(yīng)影響情況的解析表達(dá)式，并借助仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所得理論偏差的準(zhǔn)確性,。該解析結(jié)果對陣列誤差條件下窄帶循環(huán)平穩(wěn)信號陣列測向方法的性能分析以及實(shí)際系統(tǒng)的誤差校正都具有較強(qiáng)的指導(dǎo)意義,。

　　參考文獻(xiàn)

　　[1] GARDNER W A.Signal interception:A unifying theoretical framework for feature detection[J].IEEE Transactions on Communications，1988,，36(8)：897-906.

　　[2] GARDNER W A,，NAPOLITANO A，PAURA L.Cyclostationarity：Half a century of research[J].Signal Processing,，2006,，86(4)：639-697.

　　[3] GARDNER W A.Simplification of MUSIC and ESPRIT by exploitation of cyclostationarity[J].Proceedings of the IEEE，1988,，76(7)：845-847.

　　[4] SCHELL S V,，GARDNER W A.The Cramer-Rao lower　bound for directions of arrival of Gaussian cyclostationary signals[J].IEEE Transactions on Information Theory，1992,，38(4)：1418-1422.

　　[5] SCHELL S V.Performance analysis of the cyclic MUSIC method of direction estimation for cyclostationary signals[J].IEEE Transactions on Signal Processing,，1994，42(11)：3042-3050.

　　[6] CHARGE P,，Wang Yide,，SAILLARD J.An extended cyclic MUSIC algorithm[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2003,，51(7)：1695-1701.

　　[7] YAN H,，F(xiàn)AN H.On improvements of cyclic MUSIC[J].Eurasip Journal on Applied Signal Processing，2005,，50(1)：61-68.

　　[8] YEH C,，LEOU M，UCCI D.Bearing estimations with mutual coupling present[J].IEEE Trans.on Antennas and Propagation,，1989,，37(10)：1332-1335.

　　[9] LIU Z，HUANG Z,，ZHOU Y.Bias analysis of MUSIC in the presence of mutual coupling[J].IET Signal Processing,，2009,，3(1)：74-84.

　　[10] GUPTA I,，KSIENSKI A.Effect of mutual coupling on the performance of adaptive arrays[J].IEEE Trans.Antennas Propagat.,，1983，9(31)：785-791.

　　[11] JOHN D,，RONALD J.Antennas：for all applications[M].3rdedn.McGraw-Hill Company,，2002.