對淹沒在噪聲中的正弦波信號進行頻率估計是信號處理的經(jīng)典課題,，在通信,、雷達,、電子偵察及振動信號處理等領域有重要的應用。在加性高斯白噪聲信道中,，頻率估計算法大致可分為最大似然估計算法,、最大后驗概率（MAP）估計算法和自相關估計算法。RIFE D和 BOORSTYN R通過分析Cramer-Rao下界,，提出了工程可實現(xiàn)的ML算法[1],，利用快速傅里葉變換(FFT)進行粗搜索再進行精確搜索。為了充分利用頻率分布的先驗知識,，Hua Fu和KAM P Y提出了MAP充分估計算法[2],。以上兩種算法都具有較高的復雜度，而自相關估計算法實現(xiàn)復雜度低,參考文獻[3]給出了自相關估計算法的具體細節(jié)?，F(xiàn)有的精確估計算法實現(xiàn)的結構多采用FFT粗搜索,，再進行精確估計。本文在分析了現(xiàn)有的幾種精確估計后,，結合實際硬件設計，提出了直接利用幅度平方信息做精確估計的算法,，有效地簡化了現(xiàn)有算法的運算量,。通過仿真驗證了其在低信噪比下也具有一定的估計精度。

1 頻率精確估計的幾種算法
    Voglewede方法[4]利用FFT輸出的峰值以及相鄰的兩個頻點的幅值,，擬合出一條二次曲線逼近原插值函數(shù),，通過求二次函數(shù)即拋物線的最大值求解精確頻率。在有噪聲的情況下,，估計精度不高,。Quinn方法[5]利用FFT輸出的次大頻點和最大頻點復數(shù)值之比插值得出精確頻率值。Jacobsen方法[6]利用三個頻點復輸出的實部實現(xiàn)頻偏估計,。參考文獻[7]通過對FFT的輸出表達式做泰勒級數(shù)展開,，給出了Jacobsen方法的理論依據(jù)，并對原方法進行了誤差校正,。改進后的Jacobsen方法修正了原方法的系數(shù),。Jacobsen對原方法也進行了進一步的研究，通過仿真分析了不同窗函數(shù)下的Jacobsen方法的性能,，歸納了各種窗函數(shù)下對估計算法的系數(shù)修正,。
2 算法的構造
    利用FFT粗估計時，為最大程度地簡化設計,，通過搜索FFT幅度平方的最大值確定峰值頻點,。Voglewede方法利用幅度的二次曲線擬合，引入開方運算,，該方法在低信噪比下的表現(xiàn)不佳,。Jacobsen方法和Quinn方法需要FFT輸出復數(shù)的實部,，從而在確定最大頻點和其相鄰頻點的位置前需要存儲所有FFT復數(shù)的輸出。眾所周知,，復數(shù)的加法和減法運算量是實數(shù)的兩倍,，乘法和除法更甚。Jacobsen方法和Quinn方法都含有復數(shù)的數(shù)學運算,，增加了硬件的復雜性,。為了簡化硬件，本文考慮設計一種精確估計結構直接利用幅度平方估計頻偏小數(shù)部分的算法,。

3.1 不加窗函數(shù)的估計性能
    仿真設計的FFT截斷長度N為1 024,，信噪比的范圍是-12 dB~14 dB，步進為2 dB,。對?啄從0~0.5選取4個點作為測試頻偏,，分別是0.1、0.2,、0.3和0.4,。仿真結果如圖1所示。
    由仿真結果可知,，高信噪比下,，本文的兩種方法均優(yōu)于Voglewede方法。低信噪比下,，次優(yōu)精確估計算法優(yōu)于Voglewede方法,。
3.2 增加窗函數(shù)時的估計性能
    本組仿真采用Hanning、Hamming和Blackman三種窗函數(shù)和不加窗的次優(yōu)算法進行比較,，仿真結果如圖2所示,。

    由仿真結果可以看出，Hamming窗和Hanning窗估計精度均不高,。而Blackman窗可達到最佳的性能,，在低信噪比下，有效地降低了次優(yōu)算法的均方誤差,，在高信噪比下,保持次優(yōu)算法良好的估計精度,。其估計性能接近CRB。
3.3 實現(xiàn)資源占用對比
    正如在第2節(jié)中的討論,最大頻點的選擇需要對FFT實部和虛部進行平方相加的運算,。如果精確估計算法利用幅度信息（如Voglewede方法）,，則在確定最大值后需要開方得到幅度信息。如果精確估計算法利用FFT的實部信息(如Jacobsen方法),則在確定最大值前需對各頻點的實部存儲,。表1給出了Jacobsen方法,、Voglewede方法和本文兩種方法的資源占用情況。本文提出的次優(yōu)算法直接利用FFT幅度的平方信息,也簡化了算法的實現(xiàn),。

    本文提出的次優(yōu)估計算法,，是一種基于FFT輸出幅度平方的信息通過曲線擬合估計精確頻偏的算法,。從算法原理和仿真驗證兩方面說明了本算法的可行性。原理上,，算法根據(jù)FFT幅度平方輸出的函數(shù),，推導出最優(yōu)的估計表達式，算法簡化后得到一種僅需要兩個頻點的估計算法,，并優(yōu)化算法系數(shù),。通過仿真說明了算法在不同信噪比下的估計精度，加入Blackman窗后有效改善算法抗噪性能,，使其在高信噪比和低信噪比下都有較高的精度,。算法設計上，由于采用FFT輸出幅度的平方,，兩個頻點輸出值參與運算,，硬件實現(xiàn)簡單，可在各類適合的頻率估計領域應用,。
參考文獻
[1] RIFE D, BOORSTYN R. Single-tone parameter estimation from discrete-time observations[J]. IEEE Transactions on  Information Theory, 1974,20(5):591-598.
[2] FU H, KAM P Y. MPA/ML estimation of the frequency and phase of a single sinusoid in noise[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2007,55(3):834-845.
[3] VOLKER B, HANDEL P. Frequency estimation from proper sets of correlations[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2002,50(4):791-802.
[4] VOGLEWEDE P. Parabola approximation for peak determination[J]. Global DSP Magazine, 2004,3(5):13-17.
[5] QUINN B G. Frequency estimation using tapered data[C]. 2006 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing, Toulouse, France, 2006:73-76.
[6] JACOBSEN E. On local interpolation of DFT outputs[EB/OL].[2011-03] http://www.ericjacobsen.org/FTinterp.pdf,(Fall,1994).
[7] CANDAN C. A method for fine resolution frequency estimation from three DFT samples[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2011,18(6):351-354.
[8] 袁亞湘,，孫文瑜. 最優(yōu)化理論與方法[M]. 北京：科學出版社，1997.
[9] BELEGA D, DALLET D. Multipoint interpolated DFT method for frequency estimation[C]. Systems, Signals and Devices, 2009.SSD’09,6th international Multi-conference on, Djerba, Tunisia. 2009:1-6.