所有系統(tǒng)，包括濾波器,，都是因果關(guān)系。這意味著它們不能在激勵源激勵之前對激勵(不可預(yù)知)做出任何反應(yīng),。那么,，又該如何設(shè)計(jì)一款可“預(yù)測”的濾波器呢?好吧，這一切都取決于你對品質(zhì)的期待有多高以及這一預(yù)測的相關(guān)性,。

那么,，我們再次祭起曾非常流行的“五件你應(yīng)該知道的事”這一招式之旗，我們提出五個核心問題,，其答案可以幫助我們繞過這個“濾波器”陷阱,。

濾波器如何延緩信號?

信息可以通過多種方式加載于信號，它總是需要一段限定的時(shí)間來通過處理系統(tǒng),。你可能很熟悉數(shù)字模塊的傳輸延遲概念,。延遲，就是在輸入發(fā)生某些狀態(tài)變化到輸出發(fā)生相應(yīng)狀態(tài)變化這段時(shí)間差,。有數(shù)字概念的讀者首先想到的可能是一個‘1’和‘0’的碼流,，以作為不同電壓或電流水平的物理表述。對于這樣的信號,，傳輸延遲沒有害處;但當(dāng)我們考慮到模擬信號(實(shí)際上,，沒有確定的特性對應(yīng)特定的時(shí)間點(diǎn))時(shí),，就不是那么簡單了。

我們經(jīng)常對信號和數(shù)據(jù)序列進(jìn)行低通濾波以消除“噪聲”--高頻率變異,，我們已確定其沒有任何意義,，且它還是我們要觀察的更重要的基本頻點(diǎn)的障礙。雖然濾波過程對我們的觀察影響巨大,，但它絕對是一個影響觀察的案例,。當(dāng)我們查看響應(yīng)圖形時(shí)，傳統(tǒng)濾波方式最明顯的后果是,，在輸入信號的變化和濾波后輸出的相應(yīng)變化之間有明確的時(shí)間延遲,。當(dāng)我們看一些例子時(shí)，我們將在某一時(shí)刻借助測試信號清楚地看到這點(diǎn),。

我們?nèi)绾瘟炕@種形式的延遲?

濾波器(或任何其它線性信號處理模塊)輸入信號和相應(yīng)輸出之間的這種“滯后”,，

與組延遲緊密相關(guān)，組延遲相當(dāng)于(或略低于)相位響應(yīng)與派生頻率,。為此應(yīng)選用明智的單位;如果你用弧度測量相位,，以其每秒弧度的角形式表達(dá)頻率，那么,，(弧度)除以(弧度每秒),，你就可得到以秒表示的答案?；蛘吣憧梢允褂?ldquo;周期”—— 一個周期,，是一個完整旋環(huán)，或360度,。相位差以周期表示,，除以赫茲(與每秒的周期數(shù)相同)表示的常規(guī)頻率差，也會給出以秒表述的答案,。

我們可能忍不住要問：如果要避免這種滯后,，為什么不設(shè)計(jì)一款沒有任何組延遲的濾波器?如果你以前讀過我的專欄，你可能會認(rèn)識到這句話中的“危險(xiǎn)成分”,。因?yàn)?，你猜對?mdash;—它并非這么容易。如果你查找或計(jì)算“標(biāo)準(zhǔn)”的低通濾波器響應(yīng),，你會發(fā)現(xiàn),，他們的組延時(shí)是總是正向的，一直降到零頻率,。這里,，我們需要來點(diǎn)別出心裁。

我們可以消除(或者不僅僅是消除)這種延遲嗎?

如果你想讓延遲在任一頻率都為零，那嚴(yán)格的答案是‘不能‘,。但確實(shí)有種技術(shù)可用以開發(fā)補(bǔ)償濾波器,，當(dāng)其與原來的濾波器級聯(lián)時(shí)，可以給你零延遲;當(dāng)DC時(shí),，甚至是負(fù)的組延遲。正如我們將看到的,，這可能非常有用,。你不需要進(jìn)行任何試錯——現(xiàn)在，可將麻煩扼殺在未發(fā),。

比方說,，某種低通傳遞函數(shù)H，它們在DC時(shí)有整體增益,?？梢匀菀椎卣撟C：新傳遞函數(shù)H’ = 2-H，在DC時(shí)也是整體增益,，且在DC時(shí)的組延遲具有與H相同的

幅值,，但卻是負(fù)值。如果你級聯(lián)H和H‘(即串聯(lián)它們),，你會得到一個整體傳遞函數(shù),，我們稱其為H1，它具有DC整體增益和DC零組延時(shí),。對于S或Z域的任何線性傳遞函數(shù)來說,，H1就等于HH’，即H1 = H(2-H),。無論哪類濾波器,，只要H是可實(shí)現(xiàn)的，這也就可以實(shí)現(xiàn),。

這看起來似乎很怪誕,。因?yàn)楹瘮?shù)H‘與H的階相同(無論使用模擬或數(shù)字濾波器)，你可以看到,，將其組合起來會使濾波器的尺寸加倍,，因此實(shí)現(xiàn)其所需的資源也要加倍。也許不太容易想象的是,，它可能會大大降低濾波器的衰減性能,。如果H是一個具有DC整體增益的低通函數(shù)，而在所有其它頻率也具有整體增益(或小于整體增益),，那么函數(shù)2-H就有一個會在1和3之間振蕩的值,，也就是說，它可以在響應(yīng)中引入一個高達(dá)9.5dB的“凸點(diǎn)”。如果該凸點(diǎn)落于整體濾波器的阻帶內(nèi),，那么所發(fā)生的一切就只是衰減功能的惡化,。如果凸點(diǎn)落在通帶內(nèi)，那么該級聯(lián)的整個通帶內(nèi)的響應(yīng)會與單個H時(shí)的大相徑庭,。

這里有個簡單例子,。對以100kps采樣率數(shù)字方式實(shí)現(xiàn)的H，在10kHz時(shí),，以n=2的巴特沃斯濾波器開始,。為了設(shè)計(jì)濾波器并獲得圖表，我使用了新版(2012年2月發(fā)布)的PSoC Creator濾波器工具,，它為H給出了以下系數(shù),，幅度和組延時(shí)曲線在圖1表示。

雙二階濾波器的最終系數(shù)：

系數(shù)序列為A0,，A1,，A2，B1和B2

0.0674552917480469

0.134910583496094

0.0674552917480469

-1.14298057556152

0.412801742553711


圖1：0.01 Fs時(shí),，N=2的巴特沃斯濾波器的幅度和組延時(shí),。

補(bǔ)償濾波器H’與H同分母，而分子等于兩個負(fù)數(shù)(H的分子),。我用快速電子表格進(jìn)行了計(jì)算,，并將結(jié)果反饋給PSoC Creator濾波器工具。工具為這兩個雙二階部分給出了最好的排序和增益;它獲得了4dB增益,，以確保凸點(diǎn)響應(yīng)不高于0dB,，見圖2：

雙二階濾波器的最終系數(shù)：

系數(shù)序列為：A0，A1,，A2,，B1和B2

0.216065168380737

-0.2706618309021

0.0847635269165039

-1.14298057556152

0.412801742553711

0.372884273529053

0.745768547058105

0.372884273529053

-1.14298057556152

0.412801742553711

 


圖2：帶補(bǔ)償濾波器的N=2巴特沃斯級聯(lián);零DC組延遲

在通帶內(nèi)，頻率響應(yīng)明顯是非平坦(內(nèi)有凹凸)的,，而且已經(jīng)放棄了一些相對阻帶抑制,。如果你熟悉控制系統(tǒng)理論，你馬上會看到,，我們得到的是增加的傳遞函數(shù)零,，其組延時(shí)的貢獻(xiàn)準(zhǔn)確取消了原始的濾波器極點(diǎn)(以及新極點(diǎn)也會出現(xiàn))。但它并非太過糟糕的一個響應(yīng)——它仍能去掉數(shù)據(jù)序列的高頻率噪聲——如圖3所示,，某些神秘?cái)?shù)據(jù)(哇!)：


圖3：某些數(shù)據(jù)(藍(lán)色),，巴特沃斯響應(yīng)(粉紅色)和補(bǔ)償(綠色)

我們不必使用相同的函數(shù)H來構(gòu)造補(bǔ)償濾波器。如果兩個傳遞函數(shù)HA和HB都具有整體單位DC增益和相同的DC組延遲值,，則H1 =HA(2-HB)也有整體DC增益和零DC組延遲,。

特別是,，如果HB是T值的純時(shí)間延遲(相等于HA的DC組延遲)，我們可以得到FIR實(shí)現(xiàn)的漂亮簡化,。就T恰好等于N個采樣周期的傳遞函數(shù)來說,，我們得到H1 = HA(2-Z^- N)，幾乎所有的數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)都能很容易地實(shí)現(xiàn)它,，因?yàn)閆圖的

這些負(fù)值直接作用于單位采樣延遲,。而2N+1階的對稱FIR濾波器總能滿足該條件;如果多做點(diǎn)工作，它就可以適應(yīng)不對稱的情況,，其中N不是整數(shù),。

因此，無論我們選擇工作在S域或Z域,，我們都可以構(gòu)建零DC組延時(shí)的低通傳遞函數(shù)。但我們沒必要在零組延時(shí)停止;雖然我們可以很容易地使其為負(fù),，我們也在此進(jìn)入預(yù)測域,。在采樣系統(tǒng)中，有一個其輸出是輸入信號在下一個采樣時(shí)刻可以預(yù)測的濾波器,，會很方便,。換句話說，一個濾波器的DC組延遲是負(fù)一個采樣周期,。在上面提到的FIR的情況,，它簡單得幾乎難以置信。我們只須使用2-z^-(N+1),，而不是2-z^-N的補(bǔ)償函數(shù),。

現(xiàn)在，如果在有能量進(jìn)入濾波器之前,，它就實(shí)際輸出了一些能量,，那就破壞了因果律。所以包含信息的任何信號不可能以負(fù)延遲的形式出現(xiàn)在輸出,。但有些信號不包含任何信息——如果一些觀察家對其有心理上的期盼,，則無論他們怎么想

——所以當(dāng)組延遲為負(fù)時(shí)，就沒有因果關(guān)系可去違反,。

這種濾波器的表現(xiàn)如何?

這些功能有個有用的屬性,。顯然，對常數(shù)(即DC)輸入,，輸出電壓等于輸入,，與普通低通濾波器的一樣。但現(xiàn)在當(dāng)輸入以恒定速率變化時(shí),，輸出也可以等于輸入,。與“標(biāo)準(zhǔn)”低通傳輸函數(shù)不同,，在階梯變化激勵下，濾波器的輸出和輸入信號間沒有“滯后”,。我們設(shè)計(jì)另外一個例子,，并更加仔細(xì)地檢驗(yàn)其屬性。

這次,，我們以FIR為例,。我們HA的起始濾波器是一個對稱的9階FIR濾波器，(因此有4個采樣周期的恒定組延遲),。這是為陷波60Hz左右有不小變化的AC線頻而設(shè)計(jì)的,。我會解釋理由，且在以后的Filter Wizard中,，明確如何設(shè)計(jì)這樣一款“撥空號(dial-a-null)”濾波器,，但眼下，我們只是看一看,。對于我們的HB,，為得到零延遲濾波器，我們使用了4個采樣周期的簡單延遲,。這使2-HB看起來像一個系數(shù)為(2,，0，0,，0,，-1)的5階FIR濾波器。級聯(lián)的HAHB做成一款單一FIR濾波器,，將兩個Z平面序列卷積在一起,，獲得一個13階的濾波器。HA和HAHB的幅度和組延時(shí)如圖4所示,，這次是用LTspice仿真的,。圖中，有相當(dāng)奇怪的頻率和時(shí)間,，是因?yàn)檫@個濾波器是按工作在220個采樣/每秒設(shè)計(jì)的,。再次，我們得到一個凹凸不平的通帶并失去了一些阻帶響應(yīng),。

現(xiàn)在,，我們可以進(jìn)入預(yù)測領(lǐng)域。如果我們把HB‘的延遲設(shè)為5個采樣周期而不是4個,，然后重新計(jì)算該級聯(lián)(現(xiàn)在是14個階遞),，我們得到的HAHB如圖4(綠色線段)所示。與期望的一樣,，現(xiàn)在,，你可以看到DC組延遲是負(fù)4.5ms左右,。


圖4：FIR例子，正延遲和負(fù)一個采樣周期的情況

那么這里回報(bào)是什么?好,，我們看看時(shí)間域的行為,。三個濾波器的激勵源都是上升又下降的三角形信號。激勵和響應(yīng)如圖5所示,。


圖5：無補(bǔ)償和有補(bǔ)償FIR濾波器對三角波激勵的響應(yīng)

由最初的低通濾波器HA引起的“滯后”顯而易見,。如果你試圖檢測信號通過某些極限點(diǎn)的哪個點(diǎn)，你會清楚地體驗(yàn)到在檢測響應(yīng)時(shí)的延遲,。HAHB線段顯示我們零DC組延遲濾波器的輸出——它具有零延遲!這突顯了對于一般低通濾波器來說極為重要的一個事實(shí)：這種濾波器的輸出和輸入之間的斜坡滯后在數(shù)值上等于DC組延遲值,。因此，如果我們補(bǔ)償濾波器的設(shè)計(jì),，使DC組延遲為零,，我們就得以消除滯后。當(dāng)然,，代價(jià)總是有的,，我們可以看到，在輸入波形斜坡發(fā)生突變后,，這種濾波器有些疲于應(yīng)付。

如果你放大HAHB曲線,，你會看到,，每個新采樣都正好在輸入斜坡曲線上。預(yù)測版本HAHB的輸出值移動到斜坡將在下一個采樣周期開始時(shí)該有的那個值,，我猜,，會與我們預(yù)測的一樣。

這種濾波器可在哪里派上用場?

有許多工業(yè)監(jiān)測應(yīng)用,，其“正常”行為意味著信號穩(wěn)定(但嘈雜,，信號可以是溫度、壓力,、物理結(jié)構(gòu)內(nèi)的應(yīng)力等),。 所謂“異常”行為，是指一些被測的系統(tǒng)參數(shù)變得不可控,，并不按規(guī)矩“出牌”,。

在反饋路徑需要濾波的控制系統(tǒng)，這種零延遲類型的濾波器很有用,。消除很低頻率下的組延時(shí),，可以顯著增加抑制這些頻率上某些感知行為的控制回路的功效。工程師習(xí)慣于操控系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零以強(qiáng)迫實(shí)施所需的回路行為,，這正是我們在此以更具分析的意蘊(yùn)所做的,。我們的傳遞函數(shù)算法生成取消極點(diǎn)DC組延遲特性的零,。我已經(jīng)說過，不是嗎!

這種零或負(fù)延遲濾波器通常還用來處理非電子信號,。例如,，如果一種金融工具(如股票)的價(jià)格被認(rèn)為呈斜坡線性變化，但該斜坡被短期交易噪聲破壞,，零延遲濾波器就可用于有效地提取基本行為,。雖然，如圖5所示,，當(dāng)三角形改變方向時(shí),，你可以從濾波器的行為進(jìn)行推斷，但一段時(shí)間內(nèi),，這種濾波器會給出極不準(zhǔn)確的結(jié)果,，直到價(jià)格行為再次按平穩(wěn)的斜坡變化。圖3的神秘?cái)?shù)據(jù),，事實(shí)上是個股票價(jià)值序列,。

這些金融工具的交易員實(shí)際上對其價(jià)格數(shù)據(jù)序列使用了一些相當(dāng)復(fù)雜的濾波流程。我常常被告知,，若電子市場股價(jià)暴跌,，在金融部門，濾波器向?qū)Э隙〞蟹莨ぷ?，用來從巨大的價(jià)格數(shù)據(jù)集中梳理出有趣信號,。但讓我們繞過暗礁險(xiǎn)灘，戴上安全的堅(jiān)固工程的護(hù)身符,，并重回正軌!

諸如此類的延遲操控可以大有作為的一個工程應(yīng)用是補(bǔ)償數(shù)字D類放大器的電源電壓變化,。對于給定的分度：間隙因數(shù)由輸出開關(guān)輸出，其放大器的平均輸出電壓與電源電壓成正比——即,，它沒有電源抑制,。當(dāng)人們似乎不想在消費(fèi)類音頻設(shè)備的電源上下大本錢的時(shí)候，這并非好事,。

我們可以測量瞬時(shí)的電源電壓,，并將其回饋到開關(guān)控制算法中。但由于濾波器延遲與測量此類放大器的電源電壓相關(guān),，并將數(shù)據(jù)回饋至控制系統(tǒng),，所以，你最終糾錯的并非此時(shí)此地的電源電壓,，而是前一段時(shí)間的電源電壓,。這種差異限制了我們可以用這種回路實(shí)現(xiàn)電源抑制。如果我們采用有適當(dāng)?shù)腄C負(fù)組延時(shí)的低通濾波器濾除所測量的電源電壓(并不過分強(qiáng)調(diào)出現(xiàn)的高頻噪聲),，我們就可以彌補(bǔ)這種效果(至少在相對的極低頻如此,，如AC線頻的諧波頻率),。這種技術(shù)可以對數(shù)字功率放大器AC線的紋波抑制產(chǎn)生重大影響，在一些商業(yè)數(shù)字放大器設(shè)計(jì)中就采用了該方法,。