基于FFT的頻譜分析方法可以從含有噪聲的信號(hào)中提取有用的信息，在儀器儀表的數(shù)據(jù)處理中具有重要的應(yīng)用價(jià)值,。為了保證頻譜分析的精度,，往往進(jìn)行多點(diǎn)的FFT運(yùn)算，例如,，1024點(diǎn),、2048點(diǎn)等，這樣運(yùn)算量大,、所占內(nèi)存也大,，只有采用DSP(數(shù)字信號(hào)處理器)才能實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)的處理。目前,，在工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)普遍使用的兩線制,、低功耗自動(dòng)化儀表，由于儀表本身消耗電流必須控制在4 mA之內(nèi),，所以無法采用DSP等運(yùn)算能力強(qiáng)的芯片,，只能采用低功耗單片機(jī)；而低功耗單片機(jī)的運(yùn)算速度和內(nèi)存容量都很有限,，所以,，至今未見用其進(jìn)行多點(diǎn)數(shù)FFT運(yùn)算的報(bào)道。為了能夠用低功耗單片機(jī)實(shí)時(shí)做FFT運(yùn)算,，以提高自動(dòng)化儀表信息處理的能力,，我們用匯編語言編制FFT程序，在程序中用定點(diǎn)數(shù)運(yùn)算(以下簡(jiǎn)稱定點(diǎn)FFT),，采取措施防止數(shù)據(jù)溢出,，保證計(jì)算精度，合理分配內(nèi)存,。測(cè)試結(jié)果表明,，我們編制的程序在MSP430F,、1611單片機(jī)上，完成一次2048點(diǎn)的基于FFT的頻譜分析和校正只需要500 ms,，精度也達(dá)到要求,，可以用于以低功耗單片機(jī)為核心的儀表中，實(shí)時(shí)完成信號(hào)處理任務(wù),。
1 定點(diǎn)運(yùn)算
1．1 數(shù)據(jù)表示
在MSP430中使用C語言實(shí)現(xiàn)FFT運(yùn)算,，其乘法和加法運(yùn)算都是默認(rèn)使用浮點(diǎn)實(shí)現(xiàn)的。于MSP430屬于定點(diǎn)單片機(jī),，因此浮點(diǎn)運(yùn)算必須由大量的定點(diǎn)指令模擬,，這將耗費(fèi)大量的時(shí)間。因此我們針對(duì)MSP430的特點(diǎn),，使用匯編語言編制FFT程序,，在程序中用定點(diǎn)數(shù)運(yùn)算，并將數(shù)據(jù)統(tǒng)一使用16位定點(diǎn)數(shù)表示,。16位定點(diǎn)數(shù)中最高位(左邊的第1位)作為符號(hào)位，剩下的15位用于存放數(shù)值,。數(shù)據(jù)格式如圖1所示.
1．2 數(shù)據(jù)定標(biāo)
定點(diǎn)單片機(jī)參與數(shù)值運(yùn)算的數(shù)都是16位的整型數(shù),，但是運(yùn)算過程中的數(shù)不一定都是整數(shù)。那么,，定點(diǎn)計(jì)算過程中如何處理小數(shù)呢?這其中的關(guān)鍵就是由程序員來確定一個(gè)數(shù)的小數(shù)點(diǎn)處于16位中的哪一位,。這就是數(shù)的定標(biāo)。
通過設(shè)定小數(shù)點(diǎn)在16位數(shù)中的不同位置,，就可以表示不同大小和不同精度的小數(shù)了,。數(shù)的定標(biāo)有Q表示法和S表示法兩種。表1列出了一個(gè)16位數(shù)的16種Q表示,、S表示及它們所能表示的十進(jìn)制數(shù)值范圍,。
從表1中可以看出，同樣一個(gè)16位數(shù),，若小數(shù)點(diǎn)設(shè)定的位置不同,，它所表示的數(shù)也就不同。例如,，十六進(jìn)制數(shù)2000H=8192,，用Q0表示；十六進(jìn)制數(shù)2000H=O．25,，用Q15表示,；但對(duì)于定點(diǎn)運(yùn)算來說，處理方法是完全相同的,。下面簡(jiǎn)要介紹如何使用定點(diǎn)數(shù)乘法運(yùn)算模擬浮點(diǎn)數(shù)乘法,。
設(shè)浮點(diǎn)乘法運(yùn)算的表達(dá)式為：float x,，y，z,；z=xy,。假設(shè)經(jīng)過統(tǒng)計(jì)(這里“統(tǒng)計(jì)”的意思是所有計(jì)算中數(shù)據(jù)范圍都在定標(biāo)范圍內(nèi))后x的定標(biāo)值為Qx，y的定標(biāo)值為Qy,，乘積z的定標(biāo)值為Qz,，則z=xy；zq×2-Qz=xq×yq×2-(Qx+Qy),；zq=(xqyq)2Qz-(Qx+Qy),。所以，定點(diǎn)表示的乘法為：
1．3 FFT計(jì)算過程中的數(shù)據(jù)定標(biāo)
為了在以MSP43F1611為處理器的儀表系統(tǒng)上進(jìn)行基于FFT的功率譜估計(jì),，必須先由MSP430F1611的ADC進(jìn)行采樣,，而ADC采樣得到的數(shù)據(jù)需要經(jīng)過定標(biāo)后才能進(jìn)行定點(diǎn)計(jì)算。定標(biāo)過程為：ADC的采樣電壓范圍為0～2．5 V,，因此,，采樣過程實(shí)際上就是將信號(hào)電壓除以2．5進(jìn)行歸一化，使得采樣得到的數(shù)據(jù)范圍為O～1 V,，此時(shí)數(shù)據(jù)就可用Q15表示,，即將ADC的12位采樣結(jié)果寄存器中的數(shù)據(jù)右移4位保存起來，維持12位精度,，轉(zhuǎn)換為Q15定點(diǎn)數(shù)表示,。由于FFT運(yùn)算過程中，蝶形輸出相對(duì)蝶形輸入數(shù)據(jù)被放大了3倍,，因此蝶形輸出數(shù)據(jù)范圍為一3～+3 V,。此時(shí)數(shù)據(jù)如果仍然使用Q15表示，就會(huì)發(fā)生溢出,，故改用Q13表示數(shù)據(jù),，即將12位ADC數(shù)據(jù)右移1位。實(shí)際上經(jīng)過處理后,，ADC數(shù)據(jù)精度沒有變化,，但使用Q13表示數(shù)據(jù)比用Q12表示數(shù)據(jù)，其蝶形輸出的數(shù)據(jù)精度高,。這是由于定點(diǎn)計(jì)算時(shí)需要對(duì)蝶形輸出右移以防止溢出,，而使用Q13表示數(shù)據(jù)比使用Q12表示數(shù)據(jù)少右移了1位，因此多了1位有效數(shù)據(jù),。FFT運(yùn)算過程中使用Q13表示數(shù)據(jù),，就使得加法乘法運(yùn)算都可以直接使用定點(diǎn)指令實(shí)現(xiàn)，減少了很多判斷處理,，提高了運(yùn)算速度,。使用Q13表示數(shù)據(jù),，即最高位(左邊的第1位)是符號(hào)位，剩下的15位表示數(shù)據(jù)的大小,。表示數(shù)據(jù)大小的15位中,，高2位(左邊的第2位和第3位)用來表示數(shù)據(jù)中的整數(shù)部分，在計(jì)算中作為保護(hù)位,；最低的13位(右邊的13位)表示數(shù)據(jù)中的小數(shù)部分,，如果經(jīng)過某次蝶形單元運(yùn)算后，最大值正好被放大3倍,，此時(shí)數(shù)據(jù)就由13位擴(kuò)大到15位,，保證數(shù)據(jù)不會(huì)增大到16位，沖走符號(hào)位,，發(fā)生溢出,。運(yùn)算完成后將FFT計(jì)算過程中的這一級(jí)所有結(jié)果都右移2位，就能夠使得這一級(jí)計(jì)算結(jié)果的最大值仍然可用13位表示,，同時(shí)也可將這一級(jí)所有蝶形運(yùn)算輸出的數(shù)據(jù)同時(shí)縮小,，保證下級(jí)計(jì)算。表示數(shù)值大小的15位數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)格式如圖2所示,。
1．4 旋轉(zhuǎn)因子數(shù)據(jù)定標(biāo)
FFT運(yùn)算過程使用定點(diǎn)計(jì)算,，且使用有符號(hào)乘法，必須始終保留1位作為符號(hào)位,；而旋轉(zhuǎn)因子范圍為-1～1,，因此可定標(biāo)為Q14,，轉(zhuǎn)換為16位定點(diǎn)數(shù),。其轉(zhuǎn)換過程為：根據(jù)參與FFT運(yùn)算的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)計(jì)算出旋轉(zhuǎn)因子的正余弦表，然后將正余弦表乘以16384,，即左移14位,，最后四舍五人取整。如果使用Q15表示數(shù)據(jù),，即需要左移15位,，那么正余弦表中最大值1，經(jīng)過上述處理后成為-1,，發(fā)生溢出,。
2 防止溢出，保證精度
FFT中的蝶形運(yùn)算如圖3所示,。設(shè)蝶形輸入為：X1(k),，實(shí)部為X1(k)r，虛部為X1(k)i,；X2(k),，實(shí)部為X2(k)r,，虛部為X2(k)i。設(shè)蝶形輸出為：X(k),，實(shí)部為X(k),，，虛部為X(k)i,；X(k+N／2),，實(shí)部為X(k+N／2)r，虛部為X(k+N／2)i,。則有：
由式(1)和式(2)可以看出,，蝶形輸出的實(shí)部和虛部是由3個(gè)數(shù)相加得到的，因此數(shù)據(jù)可能會(huì)放大3倍,。如果計(jì)算過程中的數(shù)據(jù)始終使用定點(diǎn)數(shù)表示,，隨著級(jí)數(shù)的增加，就會(huì)發(fā)生溢出,。例如,，使用16位定點(diǎn)數(shù)表示，其最高位(從左數(shù)第1位)為符號(hào)位,，其表示的數(shù)據(jù)范圍為-32 768～32 767,。如果采樣得到的數(shù)據(jù)最大值為4 096，經(jīng)過兩級(jí)計(jì)算后蝶形最大輸出就可能為4096×3×3=36 864,，超出了16位定點(diǎn)數(shù)的表示范圍,。
下面介紹保證數(shù)據(jù)計(jì)算精度的方法。
為了提高計(jì)算速度,，系統(tǒng)中使用定點(diǎn)數(shù)法運(yùn)算FFT,，且使用Q13表示數(shù)據(jù)。蝶形運(yùn)算中,，其蝶形輸出的數(shù)據(jù)的實(shí)部和虛部都使用3次加法運(yùn)算,，即每級(jí)蝶形運(yùn)算都可能使數(shù)據(jù)擴(kuò)大3倍，因此,，蝶形輸出的實(shí)部和虛部結(jié)果都需要右移2位(縮小4倍)以防止溢出,。但隨著計(jì)算級(jí)數(shù)的增加，移位將會(huì)使數(shù)據(jù)變得越來越小,。例如,，128點(diǎn)FFT，總共需要7級(jí)運(yùn)算,，數(shù)據(jù)最終將移位2×7=14位(縮小47=16 384倍),，因此當(dāng)信號(hào)幅值不夠大時(shí)，經(jīng)過多級(jí)運(yùn)算可能會(huì)無法分辨出主信號(hào)頻率。
設(shè)FFT運(yùn)算結(jié)果的主信號(hào)頻率點(diǎn)的對(duì)應(yīng)實(shí)部為r,，虛部為i,，其幅值為A(ADC的量化值)，參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)為N,，由FFT功率譜計(jì)算的性質(zhì)可得：
設(shè)經(jīng)過定點(diǎn)FFT運(yùn)算,，也就是運(yùn)算過程中有移位，則該主信號(hào)頻率點(diǎn)的模為K,，即：
聯(lián)立式(3)和式(4),，得
由于功率譜估計(jì)是找出功率譜中的最大值，確定主信號(hào)的頻率,，根據(jù)經(jīng)驗(yàn),，使用定點(diǎn)數(shù)運(yùn)算FFT，當(dāng)實(shí)部和虛部的模的平方K2為2時(shí),，就無法由功率譜分辨出主信號(hào)頻率,。由式(5)可得：
因此，當(dāng)K2為2,，N為128時(shí),，A=128×1．414=180．992=181，即當(dāng)信號(hào)的幅值為18l／4 096×2．538=112 mV,，就分辨不出主信號(hào)頻率,。考慮K2為2的極限情況,，當(dāng)A為724,，N為512時(shí)，即給定信號(hào)幅值為724／4 096×2．538=449 mV時(shí),，就分辨不出主信號(hào)頻率,。
為了防止計(jì)算結(jié)果經(jīng)過多次移位后，數(shù)據(jù)太小無法分辨主信號(hào),，系統(tǒng)針對(duì)定點(diǎn)FFT運(yùn)算采取如下處理：由于FFT定點(diǎn)運(yùn)算中,，一般情況下,，為了處理方便,，每級(jí)蝶形運(yùn)算中乘法結(jié)果都限制在-1～1范圍內(nèi)，即乘法運(yùn)算的結(jié)果始終為小數(shù)(只有經(jīng)過加法運(yùn)算,，數(shù)據(jù)才有可能超出-1～1范圍),，因此，通過判斷蝶形輸出的結(jié)果,，決定是否移位,。當(dāng)發(fā)現(xiàn)超出-1～1范圍，就將本級(jí)的所有蝶形運(yùn)算的輸出結(jié)果右移2位，沒有超出就不進(jìn)行移位,。
3 內(nèi)存分配
由式(3)可知,，功率譜估算時(shí)需要另外開辟一段內(nèi)存空間存儲(chǔ)功率譜結(jié)果。例如,，當(dāng)進(jìn)行2048點(diǎn)基于FFT的功率譜分析時(shí),，需用1024個(gè)浮點(diǎn)數(shù)存放功率譜計(jì)算結(jié)果，這將占有很大一段內(nèi)存,。但實(shí)際運(yùn)算中,，每個(gè)頻率點(diǎn)功率，只與其FFT運(yùn)算結(jié)果中的對(duì)應(yīng)頻率點(diǎn)的實(shí)部,、虛部有關(guān),，而與其他頻率點(diǎn)無關(guān)。因此功率譜運(yùn)算中,，可采取以下步驟將存放實(shí)部的空間存放功率譜：
①實(shí)部,、虛部數(shù)據(jù)平方計(jì)算。由于MSP430F1611內(nèi)部集成了硬件乘法器,，因此可將乘法器的第一操作數(shù)寄存器(OP1),、第二操作數(shù)寄存器(OP2)寫入相同的數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)平方運(yùn)算。
②平方結(jié)果移位,。平方結(jié)果需要右移13位,，使用Q13表示，同時(shí)使用16位的臨時(shí)變量將平方結(jié)果保存,。
③功率譜計(jì)算結(jié)果保存,。實(shí)部平方結(jié)果、虛部平方結(jié)果相加后再存人原來的實(shí)部單元,。
經(jīng)過上述步驟后,，就可將原來存放實(shí)部、虛部數(shù)據(jù)的內(nèi)存單元再次利用,。
定點(diǎn)FFT運(yùn)算過程中,，還可將用來存放采集數(shù)據(jù)的內(nèi)存空間，再次用作存放FFT運(yùn)算過程中的實(shí)部數(shù)據(jù),，另外再開辟同等大小的內(nèi)存空間,，存放虛部數(shù)據(jù)。例如,，對(duì)于RAM空間為10 KB的MSP430F16ll來說,，使用16位定點(diǎn)數(shù)運(yùn)算FFT，最多能夠運(yùn)算2 048點(diǎn),。因?yàn)閷?shí)部,、虛部結(jié)果都需4 096 KB，故共需8．192 KB，正好小于10KB,；而運(yùn)算4 096點(diǎn)FFT時(shí),，共需16．384 KB，超出10 KB,。
4 程序?qū)崿F(xiàn)
算法實(shí)現(xiàn)時(shí)使用如下方法簡(jiǎn)化了程序運(yùn)算過程：
①C程序調(diào)用匯編FFT程序,，同時(shí)為了處理方便將功率譜運(yùn)算過程也用C語言實(shí)現(xiàn)。為了使匯編程序中使用的內(nèi)存空間與C程序中的內(nèi)存空間地址不發(fā)生沖突,，匯編程序中所需的變量都在C文件中定義,。
②由于實(shí)部、虛部都使用C語音數(shù)組來存儲(chǔ),，當(dāng)計(jì)算點(diǎn)數(shù)很多時(shí),，數(shù)組將很大。例如,，當(dāng)運(yùn)算2 048點(diǎn)FFT時(shí),，就需定義兩個(gè)長(zhǎng)度為2 048的整形數(shù)組，這兩段數(shù)組不能用堆棧局部空間存儲(chǔ),，只能用全局?jǐn)?shù)組,，由于C語言規(guī)定全局變量默認(rèn)初始化為0，MSP430的IAR編譯環(huán)境,，進(jìn)入main函數(shù)之前的cstart函數(shù)中就用cstar_inh_zero函數(shù)對(duì)全局變量進(jìn)行初始化,，由于定義的數(shù)組太長(zhǎng)，初始化需要很長(zhǎng)時(shí)間,，導(dǎo)致程序還沒有進(jìn)入main函數(shù),，看門狗就已經(jīng)復(fù)位。因此定義全局?jǐn)?shù)組時(shí),，加上_no_init關(guān)鍵字,。例如，定義一個(gè)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為2 048的不需要初始化的整型數(shù)組,，使用語句no_init int fft[2048],。
③為節(jié)約RAM內(nèi)存空間，將旋轉(zhuǎn)因子對(duì)應(yīng)的正余弦表制作成表格存放在ROM空間中,，而蝶形運(yùn)算時(shí)可通過查表得到旋轉(zhuǎn)因子后再進(jìn)行FFT運(yùn)算,。
④由于FFT運(yùn)算過程中的旋轉(zhuǎn)因子是通過左移14位取整得到的，因此蝶形運(yùn)算過程中需要乘法運(yùn)算結(jié)果右移14位,。MSP430F1611單片機(jī)乘法器的結(jié)果寄存器,，由高16位乘法結(jié)果寄存器RESFII,、低16位乘法結(jié)果寄存器RESLO組成,，右移14位操作就是保留高位結(jié)果寄存器所有內(nèi)容和低位結(jié)果寄存器中的高兩位，因此RESHI、RESLO一起向左移2位,，然后保留高位結(jié)果寄存器作為乘法結(jié)果就可實(shí)現(xiàn)右移14位過程,。
5 算法測(cè)試
為了驗(yàn)證算法的實(shí)時(shí)性和正確性，通過信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)送入所研制的基于MSP430f1611為核心的處理系統(tǒng),，對(duì)算法進(jìn)行了全面的測(cè)試,。
(1)測(cè)試算法運(yùn)行時(shí)間
測(cè)試對(duì)2 048點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行功率譜估計(jì)所需要的總時(shí)間。預(yù)先設(shè)置MSP430F1611單片機(jī)的P5．4引腳為普通I／O,，且為輸出方式,，接著，循環(huán)執(zhí)行FFT運(yùn)算和功率譜估計(jì)程序,，且每次開始FFT計(jì)算和功率譜估算前,，將P5．4輸出電平翻轉(zhuǎn)，因此P5．4輸出的相鄰兩次翻轉(zhuǎn)電平的時(shí)間間隔就是FFT運(yùn)算和功率譜估計(jì)的總時(shí)間,。通過數(shù)字存儲(chǔ)示波器觀測(cè)P5．4引腳輸出的信號(hào)波形,，如圖4所示。
每次高低電平翻轉(zhuǎn)的時(shí)間間隔約為500 ms,，即對(duì)2 048點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行功率譜估計(jì)總共需要500 ms,。
(2)測(cè)試算法計(jì)算精度
由于FFT運(yùn)算的最大誤差發(fā)生在非整周期采樣時(shí)，所以,，選擇這些最大誤差點(diǎn)來進(jìn)行測(cè)試,。由于泄漏誤差，信號(hào)基頻表示為
f0=(k+d)fs／N (7)
式(7)中,，k為整數(shù),，d為小數(shù)(定義d為泄漏誤差系數(shù))。由于泄漏誤差不超過頻率分辨率的二分之一,，所以|d|≤O．5,。當(dāng)d=O時(shí)，即為整周期采樣情況,；當(dāng)d=O．5時(shí),，就是最大非整周期采樣的地方。因?yàn)樗兄频幕贔FT的頻譜分析方法將應(yīng)用于數(shù)字渦街流量計(jì),，在此,，針對(duì)氣體40口徑頻率范圍為69～1 380 Hz，設(shè)定采樣頻率為3 717．472 199 Hz,，數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)為2 048,，選擇不同的k值得到不同的頻率信號(hào)，由信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生幅值為60 mV的這些信號(hào),，送入兩線制渦街流量計(jì)信號(hào)處理系統(tǒng)低通濾波器前端,，然后經(jīng)過預(yù)放大電路和低通濾波電路后,，送入MSP430F1611進(jìn)行頻率估計(jì)。